高校数学・命題,条件,証明

〇→
　x>1であってかつx>2でないものがあれば，反例となり，成り立たないことの証明になる．
　x=1.5を考えると，x>1であってかつx>2でない．
　したがって
　　x>1 $\Longrightarrow$ x>2
は成り立たない
〇←
x>2ならばx>2>1だから
　　x>1 $\Longleftarrow$ x>2
は成り立つ
〇⇄
以上により，x>1 $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ x>2
〇答
x>1は，成り立つ側の矢印（左向き矢印）の先にあるから，x>1（であること）は，x>2であるための「必要条件」

　図では，右図において，x>1の集合がx>2の集合を含んでいるから（x>2の集合がx>1の集合の真部分集合となっているから），x>1は「必要条件」と考える

→解説を隠す←

《2》
a>bはa2>b2であるための（　　）条件

♦ ♪ ♥ ♫ ∀ ** ブラボー! ** ∳ ♣ ♬ ∅ ♠

〇→
　「a>bであって，かつa2≦b2」である例を示せば，「a>bならばa2>b2」の反例になる．
　例えば，右図の赤色で示した
　a=−2, b=−4の場合，a=−2>b=−4であるが，a2=4<b2=16となるから
　　a>bならばa2>b2
は成り立たない.
（他の例：a=1, b=−3の場合も反例として使える）
〇←
　「a2>b2であって，かつa≦b」である例を示せば，「a2>b2ならばa>b」の反例になる．
　例えば，右図の赤色で示した
　a=−4, b=−2の場合，a2=16>b2=4であるが，a=−4<b=−2となるから
　　a2>b2ならばa>b
は成り立たない.
（他の例：a=−3, b=1の場合も反例として使える）
〇⇄
以上により，a>b $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ a2>b2
〇答
どちら向きの矢印も成り立たないから，a>b（であること）は，a2>b2であるための「必要条件でもなく十分条件でもない」

　図で考える場合，a−b>0の集合をP（桃色斜線），a2−b2=(a+b)(a−b)>0⇔の集合{(a−b>0かつa+b>0)または(a−b<0かつa+b<0)}をQ（黄色）とするとき，PはQの部分集合でなく，QもPの部分集合でないから，どちら向きの矢印も成り立たない．
たとえば,PであってQでないものとしてa=−2, b=−4を反例とすると，P→Qが偽であるといえる．
また，QであってPでないものとしてa=−3, b=1を反例とすると，Q→Pが偽であるといえる．

→解説を隠す←

《3》
a>bはac>bcであるための（　　）条件

♦ ♪ ♥ ♫ ∀ ** それな ** ∳ ♣ ♬ ∅ ♠

〇→
　「a>bであって，かつac≦bc」である例を示せば，「a>bならばac>bc」の反例になる．
　ac−bc=(a−b)cだからc<0のときa−bと(a−b)cの符号が異なることになる．
　a=3, b=2, c=−1の場合，a>bであるが，ac=−3<bc=−2となるから
　　a>bならばac>bc
は成り立たない.
〇←
　「ac>bcであって，かつa≦b」である例を示せば，「ac>bcならばa>b」の反例になる．
　a=1, b=2, c=−3の場合，ac=−3>ab=−6であるが，a<bとなるから
　　ac>bcならばa>b
は成り立たない.
〇⇄
以上により，a>b $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ ac>bc
〇答
どちら向きの矢印も成り立たないから，a>b（であること）は，ac>bcであるための「必要条件でもなく十分条件でもない」 →解説を隠す←

《4》
a>bかつc>dはa+c>b+dであるための（　　）条件

♦ ♪ ♥ ♫ ∀ ** あたり!! ** ∳ ♣ ♬ ∅ ♠

〇→
　　a>bかつc>d
ならば
　　 a−b>0かつc−d>0
だから
　　(a−b)+(c−d)>0
したがって
　　a+c>b+dが成り立つ
〇←
　一般に，２数の和が正(x+y>0)であっても２数とも正(x>0, y>0)とは限らないから
　(a−b)+(c−d)>0であってもa−b>0, c−d>0とは限らないということを反例で示せばよい
a=4, b=1, c=2, d=3のとき a+c>b+dであるがc<dであるから
　　a+c>b+dならばa>bかつc>d
は成り立たない.
〇⇄
以上により，(a>bかつc>d) $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ a+c>b+d
〇答
(a>bかつc>d)は，成り立つ側の矢印（右向き矢印）の根もとねもとにあるから，a+c>b+dであるための「十分条件」 →解説を隠す←

《5》
a>bかつc>dはac>bdであるための（　　）条件

♦ ♪ ♥ ♫ ∀ ** いいね ** ∳ ♣ ♬ ∅ ♠

〇→

　一般に，「大きい方と大きい方の積は，小さい方と小さい方の積よりも大きくなる」という常識は，登場するものが全部正の数の場合であり，１つでも負の数が混ざると，この話は怪しくなる．

反例で示す
a=4, b=1, c=−2, d=−3のとき，「a>bかつc>dであるがac<bd」となるから
　　a>bかつc>dならばac>bd
は成り立たない．
〇←
a=4, b=1, c=2, d=3のとき ac>bdであるがc<dであるから
　　ac>bdならばa>bかつc>d
は成り立たない.
〇⇄
以上により，(a>bかつc>d) $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ ac>bd
〇答
どちら向きの矢印も成り立たないから，(a>bかつc>d)は，ac>bcであるための「必要条件でもなく十分条件でもない」 →解説を隠す←

《6》
2<xは $\frac{2}{x}\lt 1$ であるための（　　）条件

♦ ♪ ♥ ♫ ∀ ** ズキューン、当たった ** ∳ ♣ ♬ ∅ ♠

〇→
2<xのとき，xは正の数だから，両辺をxで割って変形しても不等号の向きは変わらない．
したがって
　　2<xならば $\frac{2}{x}\lt 1$
は成り立つ．
〇←
x<0のとき（2<xでなくても）， $\frac{2}{x}\lt 1$ が成り立つから
　　 $\frac{2}{x}\lt 1$ ならば2<x
は成り立たない.
〇⇄
以上により，2<x $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ $\frac{2}{x}\lt 1$
〇答
2<xは，成り立つ側の矢印（右向き矢印）の根もとねもとにあるから， $\frac{2}{x}\lt 1$ であるための「十分条件」 →解説を隠す←

《7》
$\sqrt{x}\gt 1$ はx>1であるための（　　）条件

♦ ♪ ♥ ♫ ∀ ** それだよ ** ∳ ♣ ♬ ∅ ♠

〇→
$\sqrt{x}\gt 1$ のとき，両辺とも正の数だから，辺々を２乗しても大小関係は変わらない．
したがって
　　 $\sqrt{x}\gt 1$ ならばx>1
は成り立つ．
〇←
x>1のとき両辺とも正の数だから，正の平方根の大小は変わらない．
したがって
　　x>1ならば $\sqrt{x}\gt 1$
は成り立つ.
〇⇄
以上により， $\sqrt{x}\gt 1$ $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ x>1
〇答
左右両方の向きの矢印が成り立つから， $\sqrt{x}\gt 1$ はx>1であるための「必要十分条件」
→解説を隠す←

《8》
$\sqrt{x}\lt y$ はx<y2であるための（　　）条件

♦ ♪ ♥ ♫ ∀ ** ストライク ** ∳ ♣ ♬ ∅ ♠

〇→
$\sqrt{x}\lt y$ のとき，両辺とも正の数だから，辺々を２乗しても大小関係は変わらない．
したがって
　　 $\sqrt{x}\lt y$ ならばx<y2
は成り立つ．
〇←
x=−1, y=2のとき，x<y2であるが $\sqrt{x}$ が定義されない．
したがって
　　x<y2ならば $\sqrt{x}\lt y$
は成り立たない.
〇⇄
以上により， $\sqrt{x}\lt y$ $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ x<y2
〇答
成り立つ側の矢印（右向き矢印）の根もとにあるから， $\sqrt{x}\lt y$ は，x<y2であるための「十分条件」
→解説を隠す←

《9》
x<5はx2+y2<25であるための（　　）条件

♦ ♪ ♥ ♫ ∀ ** ズバリ的中 ** ∳ ♣ ♬ ∅ ♠

〇→
反例で示す
　x<5であっても，x=−10, y=0ならばx2+y2>25 となる
したがって
　　x<5ならばx2+y2<25
は成り立たない．
〇←
対偶で示す
x≧5ならばx2≧25したがってx2+y2≧25
対偶をとると
　　x2+y2<25ならばx<5
は成り立つ.
〇⇄
以上により，x<5 $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ x2+y2<25
〇答
成り立つ側の矢印（左向き矢印）の矢先にあるから，x<5はx2+y2<25であるための「必要条件」

　右図の桃色の部分x2+y2<25は，黄色の部分x<5の部分集合となっているから，x<5はx2+y2<25であるための「必要条件」

→解説を隠す←

《10》
x+y+z≧0はx, y, zのうち少なくとも1つが０以上であるための（　　）条件

♦ ♪ ♥ ♫ ∀ ** その通り ** ∳ ♣ ♬ ∅ ♠

〇→
　x, y, z<0のとき，x+y+z<0
この対偶をとると
　　x+y+z≧0ならばx, y, zのうち少なくとも1つが０以上
と言える．
〇←
反例で示す
x=1, y=−2, z=−3のとき，x, y, zのうち少なくとも1つが０以上であるが，x+y+z<0
したがって
　　x, y, zのうち少なくとも1つが０以上ならばx+y+z≧0
は成り立たない.
〇⇄
以上により，x+y+z≧0 $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ x, y, zのうち少なくとも1つが０以上
〇答
成り立つ側の矢印（右向き矢印）の根もとにあるから，x+y+z≧0はx, y, zのうち少なくとも1つが０以上であるための「十分条件」
→解説を隠す←

《11》
xy≦1はx, yのうち少なくとも1つが1以下であるための（　　）条件

♦ ♪ ♥ ♫ ∀ ** よっ大統領 ** ∳ ♣ ♬ ∅ ♠

〇→
　x, y>1のとき，xy>1
この対偶をとると
　　xy≦1ならばx, yのうち少なくとも1つが１以下
と言える．
〇←
反例で示す
x=−1, y=−2のとき，x, yのうち少なくとも1つが１以下であるが，xy>1
したがって
　　x, yのうち少なくとも1つが１以下ならばxy≦1
は成り立たない.
〇⇄
以上により，xy≦1 $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ x, yのうち少なくとも1つが１以下
〇答
成り立つ側の矢印（右向き矢印）の根もとにあるから，xy≦1はx, yのうち少なくとも1つが１以下であるための「十分条件」
→解説を隠す←

《12》
x>1かつy>1はxy+1>x+yであるための（　　）条件

♦ ♪ ♥ ♫ ∀ ** よくできました ** ∳ ♣ ♬ ∅ ♠