高校数学・命題,条件,証明

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，集合と条件，必要条件，十分条件，センター試験問題のバックアップおよびマイナーチェンジありのカバー版です． ♫♣ 元の教材が通信トラブルで読めないときや，元の教材がなくなってしまったとき（高齢者がいつまでも生きている訳ではない）などに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • 確率 • ２次関数• ２次不等式 • 集合・命題・条件・証明 【単元内の目次】 • 集合(1) • 集合(2) • 部分集合,包含関係 • 和集合,共通部分 • 補集合 • 和集合,共通部分,補集合（練習問題） • ド・モルガンの法則• 集合の表し方（オイラー図） • 集合の要素を用いた証明 • 必要条件と十分条件（等式の問題）• 必要条件と十分条件（不等式の問題）• 反例 • 集合，必要条件，十分条件（共通,センター問題）• 集合と条件（センター問題）• 必要条件と十分条件（入試問題）• pならばqの真偽 • 逆・裏・対偶　• 対偶証明と背理法• 背理法の入試問題 ※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，注意してください．

■集合と条件，必要条件，十分条件，センター試験問題 　以下の問題について，カキクケコなどのカタカナが書き込まれた欄に「半角数字（１バイト文字の数字）」を入力してください． （初めに見えているカナは，マウスでポイントすれば消えますので，その場所に数字を書き込んでください） 　次の～に当てはまるものを，下の０～３のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。 　自然数m, nについて，条件p, q, rを次のように定める。 _p : m+nは2で割り切れる _q : nは4で割り切れる _r : mは2で割り切れ，かつnは4で割り切れる また，条件pの否定をpで，条件rの否定をrで表わす。このとき _pはrであるための。 _pは rであるための。 _「pかつq」はrであるための 。 _「pまたはq」はrであるための 。 　０　必要十分条件である。 　１　必要条件であるが，十分条件でない。 　２　十分条件であるが，必要条件でない。 　３　必要十分条件でも十分条件でもない。 採点する解説を見る 2008年度センター試験本試験問題［数学ＩＡ］第1問［２］

（やさしい：２つの条件の間にを書き，成立する方の矢印で「十→要」を判断するとよい。 ○　m+n は 2 で割り切れる m は 2 で割り切れ，かつ n は 4 で割り切れる 〇→ m+n が 2 で割り切れても，m=1 , m=3 のとき，「m は 2 で割り切れ，かつ n は 4 で割り切れる」とは言えないから，→は× 〇← 　　「m=2k かつ n=4l （k,l は整数）」ならば m+n=2(k+2l) は，2 で割り切れるから，←は○ 〇答 prだから「pはrであるための必要条件」：1 ○　上記の対偶を考えると p r だから 「p は r であるための十分条件」：2 ○　m+n=2k かつ n=4l（k,l は整数）m=2s かつ n=4t（s,t は整数） 〇→ m+n=2k かつ n=4l（k,l は整数）ならば，「m=2k−4l=2(k−2l) は 2 で割り切れ，かつ n=4l」だから，→は○ 〇← 「m=2k かつ n=4l （k,l は整数）」ならば m+n=2(k+2l) は，2 で割り切れるから，←は○ 〇答 　「p かつ q」r だから 「p かつ q」 は r であるための必要十分条件」：0 ○　m+n=2k または n=4l（k,l は整数）m=2s かつ n=4t（s,t は整数） →？ 　　m=n=1 のとき，m+n=2k または n=4l が成り立つが，m=2s かつ n=4t とはいえないから，→は× ←？ 　　「m=2s かつ n=4t 」ならば n=4t だから，←は○ 　「p または q」pr だから 「p かつ q」 は r であるための必要条件」：1 →解説を隠す←

集合 A , B を ____A={ n | n は10 で割り切れる自然数 } ____B={ n | n は4 で割り切れる自然数 } とする。 (1)　次の～に当てはまるものを，下の０～３のうちから一つずつ選べ。 ____自然数 n が A に属することは， n が 2 で割り切れるための 。 　 ____自然数 n が B に属することは， n が 20 で割り切れるための 。 　 　０　必要十分条件である。 　１　必要条件であるが，十分条件でない。 　２　十分条件であるが，必要条件でない。 　３　必要十分条件でも十分条件でもない。 (2)　次の～に当てはまるものを，下の０～７のうちから一つずつ選べ。 ____C={ n | n は10 と 4 のいずれでも割り切れる自然数 } ____D={ n | n は10 でも 4 でも割り切れない自然数 } ____E={ n | n は20 で割り切れない自然数 } とする。自然数全体の集合を全体集合とし，その部分集合 G の補集合を Gで表わすとき， ____ C=，D=，E= である。 ０　A∪B１　A∪B２　A∪B３　A∪B ４　A∩B５　A∩B６　A∩B７　A∩B 採点する解説を見る 2007年度センター試験本試験問題［数学ＩＡ］第1問［２］

（２つの条件の間に を書き，成立する方の矢印で「十→要」を判断する。または，集合 P⊂Q のとき，条件 p→q とする。 (1) 　２で割り切れるものの集合を P とおくと， _A={10 ,20, 30, ... } _P={2 ,4, 6, 8, 10, 12, ... , 20} だから A⊂P（十分条件：２） （別解）x∈A → x=10k（k は整数）→ x=2(5k) は２で割り切れるが，逆に x が２で割り切れても，x=6 のように10で割り切れないものもあるから，x∈Ax∈P　（十分条件：２） 　20で割り切れるものの集合を Q とおくと， _B={4 ,8, 12, 16, 20, 24, ...,40, ...} _Q={20, 40 , 60, ... , } だから Q⊂B（必要条件：１） （別解）x∈Q → x=20k（k は整数）→ x=4(5k) は４で割り切れるが，逆に x が４で割り切れても，x=8 のように20で割り切れないものもあるから，　x∈Bx∈Q　（必要条件：１） (2)　右図のようになるから _C=A∩B→４ _D=A∪B→３ _E=A∩B→７ →解説を隠す←

a は実数とし，b は 0 でない実数とする。a と b に関する条件 p , q , r を次のように定める。 _p　：_a , b はともに有理数である _q　：_a+b , ab はともに有理数である _r　：_ は有理数である (1)　次のに当てはまるものを，下の０～３のうちから一つ選べ。 __条件 p の否定 p は である。 _０　「a , b はともに有理数である」 _１　「a , b はともに無理数である」 _２　「a , b の少なくとも一方は有理数である」 _３　「a , b の少なくとも一方は無理数である」 (2)　次のに当てはまるものを，下の０～３のうちから一つ選べ。 __条件 「q かつ r」 は条件 p が成り立つための 。 _０　必要十分条件である _１　必要条件であるが十分条件ではない _２　十分条件であるが必要条件ではない _３　必要十分条件でも十分条件でもない (3)　次の０～７のうち正しいものは である。 　０　「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は真である。 　１　「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は偽である。 　２　「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は真である。 　３　「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は偽である。 　４　「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は真である。 　５　「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は偽である。 　６　「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は真である。 　７　「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は偽である。 採点する解説を見る 2006年度センター本試験問題［数学Ｉ・Ａ］第1問［2］

(1)　　「かつ」「または」に関するド・モルガンの法則 a かつ b=aまたはb により， a , b はともに有理数 = a は有理数またはb は有理数 =a は無理数 または b は無理数　… ３ (2)　「q かつ r」 p の成否を調べる。 〇←は明らかに成立する。 （a= , b= , m,n,s,t∈Q，Q は有理数全体の集合，b≠0 のとき， a+b=+=∈Q , ab=∈Q , =∈Q　だから p⇒「q かつ r」が成立する． ） 〇→の成否を調べる： a , b が有理数でないときでも，次のような場合には a+b , ab , は有理数となる。 a= , b= − のとき a+b=0 , ab=−2 ,=−1 したがって，「q かつ r」⇒p は成立しない．… １ (3)　「pq」 〇→〇は明らか。 〇←×の反例 a+b=0 , ab=−2 のとき，a=−, b=（またはa=, b=−は有理数でない。 もとの命題「p⇒q」は真，その逆は偽。次に，もとの命題とその対偶とは真偽が一致するから，対偶は真… ２ →解説を隠す←

次の文中の～にあてはまるものを，下の1～４のうちから選べ。 　(1)　|x|=2であることは，x2−4x+4=0であるための 　(2)　a , b を実数とする。２次方程式 x2−ax−b=0 について，b>0 であることは，この方程式が正と負の実数解をもつための 　(3)　a>2 , b>2 であることは，ab>a+b であるための 　(4)　整式P(x)がx2で割り切れることは，{P(x)}2がx3 で割り切れるための (5)　四角形ABCDについて，sinA=sinB, sinC=sinDであることは，四角形ABCDが平行四辺形であるための （ただし，四つの内角はいずれも180°より小さいものとする。） _１　必要十分条件である _２　必要条件であるが，十分条件ではない _３　十分条件であるが，必要条件ではない _４　必要十分条件でも十分条件でもない 採点する解説を見る 1993年度センター追試験問題［数学Ｉ］第１問［1］

(1) |x|=2⇔x=±2…(A) x2−4x+4=0⇔x=2 …(B) x=±2…(A)x=2 …(B) したがって，(A)は(B)の必要条件 … ２ 　(2)　f(x)=x2−ax−b とおくと，f(0)=−b で x2 の係数が正だから b>0⇔f(0)<0⇔ ⇔f(x)=0が正負の実数解をもつ。 したがって，必要十分条件 … １ 　(3) 　a>2 , b>2 の表わす領域は右図黄色の部分 …(A) 　ab>a+b⇔ab−a−b>0 ⇔(a−1)(b−1)>1の表わす領域は右図灰色の部分 …(B) 　(A)(B)　　したがって，十分条件 … ３ （別解） ab>a+b⇔ab−a−b>0⇔(a−1)(b−1)>1 …(A) _だから，この式の形に合わせることを考える。 _a>2 , b>2　⇔　a−1>1 , b−1>1 …(B) _a−1>1 , b−1>1(a−1)(b−1)>1を調べる _明らかに，　(B)〇→○(A) _(B)〇←?(A)　は，積が１よりも大きければ両方とも１よりも大きいか?という問題で，両方とも負の数のとき，例えば a−1=−2 , b−1=−3　すなわち　a=−1 , b=−2　のとき，(a−1)(b−1)=6>1 であるが a−1=−2<1 , b−1=−3<1 となって成立しない。 　(A)(B)　　したがって，十分条件 … ３ 　(4) 　P(x)=x2Q(x) →　{P(x)}2=x4{Q(x)}2=x3[x{Q(x)}2] だから，〇→○ 　〇←? を対偶によって示す。 　P(x)=x2Q(x)+ax+b (a , b≠0 ) →　{P(x)}2=x4{Q(x)}2+a2x2+b2+2ax3Q(x)+2abx+2bx2Q(x) の１次，２次の項は0にならない。したがって，〇←〇　必要十分条件 … １ 　(5) 　sinA=sinBかつsinC=sinD⇔(B=A または B=180°−A) かつ (D=CまたはC=180°−C) 　 D=C D=180°- C B=A B=180°- A 平行四辺形 sinA=sinB, sinC=sinD となるから 　必要条件 … ２ →解説を隠す←

次の文中のにあてはまるものを，下の1～４のうちから選べ。 　(1)　実数x, yについて，x2=y2であることはx3=y3 であるための 。 　(2)　実数xについて，2x2−4x+1<0 であることは， (x−3)(x−2)(x+2)>0 であるための 。 　(3)　△ABCにおいてcosA cosB cosC>0であることは，△ABCが鋭角三角形であるための 。 　(4)　自然数m , nについて，mとnがともに5の倍数であることは，m+nとmnがともに5の倍数であるための 。 _１　必要十分条件である _２　必要条件であるが，十分条件ではない _３　十分条件であるが，必要条件ではない _４　必要十分条件でも十分条件でもない 採点する解説を見る 1991年度センター本試験問題［数学Ｉ］第１問［２］

(1) x2=y2⇔(x−y)(x+y)=0⇔x=±y …(A) x3=y3⇔(x−y)(x2 + xy+y2)=0⇔x=y または x2 + xy+y2=0⇔x=y または (x + )2+ y2=0⇔x=y または x=y=0（x=y=0 は x=y に含まれるから ）⇔x=y …(B) x=±yx=yだから，(A)は(B)の必要条件 … ２ (2) 2x2−4x+1<0⇔0.3≒ <x<≒1.7 …(A) 右のグラフから (x−3)(x−2)(x+2)>0⇔−2<x<2 , 3<x …(B) (A)(B)だから，(A)は(B)の十分条件 … ３ (3)（危険な落とし穴に注意） 鋭角三角形⇔cosA>0 , cosB>0 , cosC>0 …(A) cosA cosB cosC>0⇔cosA>0 , cosB>0 , cosC>0またはcosA , cosB , cosCのうち２つが負，１つが正 ところが，三角形の内角で２つが90°より大きいことはないから，「cosA , cosB , cosCのうち２つが負」ということはない。 したがって，cosA cosB cosC>0 ⇔cosA>0 , cosB>0 , cosC>0 …(B) ゆえに，(A)⇔(B)，(A)は(B)の必要十分条件 … １ (4)（危険な落とし穴に注意。m , n は自然数とされているから，無理数や虚数の場合を考えなくてよい。） 〇→? m=5k , n=5l（m , n は自然数）→m+n=5(k+l) , mn=5(5kl) だから〇→○ 〇←? m+n=5p , mn=5q（p , q は自然数）→mn=5qより m , n の少なくとも１つは５の倍数。対称式だから，m が５の倍数（5r）としても一般性を失わない。このとき，m+n=5pより n=5p−5r=5(p−r)も５の倍数。 したがって，〇←○必要十分条件 … １ →解説を隠す←

次の文中に入れるのに適当な語句を，下の1～４のうちから選べ。 　(1)　集合 A , B について，A∪B=A は，A∩B=B であるための 。 　(2)　整数 n について，n2 が 12 の倍数であることは，n が 12 の倍数であるであるための 。 　(3)　三角形 T の内接円の中心と外接円の中心が一致することは， T が正三角形であるための 。 　(4)　実数 a , b , c について，|a+b+c|=|a|+|b|+|c| は ab+bc+ca≧0 であるための 。 _１　必要十分条件である _２　必要条件であるが十分条件ではない _３　十分条件であるが必要条件ではない _４　必要十分条件でも十分条件でもない 採点する解説を見る 1990年度センター本試験問題［数学Ｉ］第１問［２］

(1)　 A∪B=A⇔⇔A∩B=B だから，必要十分条件 … １ (2)（２，３の例で調べてみると分かる。） 〇←○ n=12k⇒n2=12(12k2)は明らか。 〇→? n2 が 12 の倍数で，かつ， n が 12 の倍数でないものはないかどうか調べると， _n=2·3=6 , 2·32=18 のとき，n は 12 の倍数でないが n2=22·32=12k ,22·34=12l となるから，〇→× したがって，必要条件 … ２ (3)（中学，高校の授業でこれ自体を扱う時間はほとんどないが，証明できるかどうか調べてみると分かる。） △ＡＢＣの内接円の中心をＩとおくと，次の関係が成り立つ。 _△ＢＰＩ≡△ＢＱＩ △ＡＢＣの外接円の中心をＯとおくと，次の関係が成り立つ。 _△ＢＭＯ≡△ＣＭＯ 正三角形 → 内接円の中心と外接円の中心は一致する。 逆に，内接円の中心と外接円の中心が一致すれば，ＢＰ＝ＢＱ＝ＣＱが成り立ち，同様にしてＣＱ＝ＣＲ＝ＡＲ＝ＡＰも成り立つからＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡとなり，正三角形となる。必要十分条件 … １ (4)|a+b|≦|a|+|b|（等号は a,b が同符号または0のとき） すなわち，|a+b|=|a|+|b|⇔ab≧0 を公式とすれば |(a+b)+c|=|a+b|+|c|⇔(a+b)c≧0 さらに， |(a+b)+c|=|a+b|+|c|=|a|+|b|+|c|⇔(a+b)c≧0 , ab≧0 したがって， (a+b)c≧0 , ab≧0(a+b)c+ab≧0 の成否を調べればよい。 〇→○ は明らか 〇←? は，和が０以上ならば２つとも０以上と言えるか?ということで 大小アンバランスな例を考えると成立しないことが示せる。 反例：a=6,b=−1,c=8 のとき，(a+b)c+ab=34≧0 であるが，ab=−6<0 したがって，〇←×十分条件 … ３ →解説を隠す←