♪♥ この教材は,高校数学の基本問題のうち,集合,必要条件,十分条件(共通,センター問題)のバックアップおよびマイナーチェンジありのカバー版です. ♫♣ 元の教材が通信トラブルで読めないときや,元の教材がなくなってしまったとき(高齢者がいつまでも生きている訳ではない)などに,こちらを使ってください.なお,学習の記録は付いていません.
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【2013年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問 [2]
三角形に関する条件p, q, rを次のように定める。
p : 三つの内角がすべて異なる
条件pの否定をq : 直角三角形でない r : 45°の内角は一つもない (1) 命題「r 「ク クに当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つ選べ。
⓪ ( p かつ q )
① (
② (
③ (
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【逆・裏・対偶】
ⅰ) 元の命題 ⅱ) 元の命題とその対偶とは真偽が一致する.
【ド・モルガンの法則】
(1) 「r ⅰ) ( p かつ q )と( p または q )の真偽は一致する. ⅱ) ( p または q )と( p かつ q )の真偽は一致する. ( p または q ) すなわち ( だから,①→ク |
(2) 次の⓪~④のうち,命題「( p または q )
ケとコに当てはまるものを,⓪~④のうちから一つずつ選べ。ただし,ケとコの解答の順序は問わない。
⓪ 直角二等辺三角形
① 内角が30°,45°,105°の三角形 ② 正三角形 ③ 三辺の長さが3,4,5の三角形 ④ 頂角が45°の二等辺三角形 |
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【反例】
(2)命題 (pであって,かつ 命題「( p または q ) 「( p または q ) かつ 「(三つの内角がすべて異なる,または,直角三角形でない)であって,かつ,45°の内角がある」である. 前半を満たすものは(①③または①②④)だから(①②③④),後半を満たすものは⓪①④だから,両方とも成り立つ(「かつ」が成立する)のは,①④→ケコ |
(3) rは( p または q )であるためのサ。
サに当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つ選べ。
⓪ 必要十分条件である
① 必要条件であるが,十分条件ではない ② 十分条件であるが,必要条件ではない ③ 必要条件でも十分条件でもない |
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(3)
対偶で考えて,( ( ここで,正三角形と直角三角形は両立できないから,( 以上から 「直角二等辺三角形」 すなわち ( 対偶をとると よって,rは( p または q )であるための②→サ |
【2014年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問 [2]
集合UをU={n|nは5<
P={n|n∈Uかつnは4の倍数}
全体集合をUとする。集合Pの補集合をPで表し,同様にQ, R, Sの補集合をそれぞれQ,R,Sで表す。Q={n|n∈Uかつnは5の倍数} R={n|n∈Uかつnは6の倍数} S={n|n∈Uかつnは7の倍数} (1) Uの要素の個数はタチ個である。 (2) 次の⓪~④で与えられた集合のうち,空集合であるものはツ,テである。 ツ,テに当てはまるものを,次の⓪~④のうちから一つずつ選べ。ただし,ツ,テの解答の順序は問わない。
⓪ P⋂R ① P⋂S ② Q⋂R ③ P⋂Q ④ R⋂Q
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(1)
25<n<36 n=26,27,28.29,30,31,32,33,34,35 10個→タチ (2) P={28,32}, Q={30,35}, R={30}, S={28,35} だから ⓪ P⋂R=∅, ① P⋂S={28}, ② Q⋂R={30} ③ P⋂Q={28,32}, ④ R⋂Q=∅ したがって,空集合であるものは,⓪④→ツテ |
(3) 集合Xが集合Yの部分集合であるとき,X⊂Yと表す。このとき,次の⓪~④のうち,部分集合の関係について成り立つものはト,ナである。
ト,ナに当てはまるものを,次の⓪~④のうちから一つずつ選べ。ただし,ト,ナの解答の順序は問わない。
⓪P⋃R⊂Q ①S⋂Q⊂P ②Q⋂S⊂P
③P⋃Q⊂S ④R⋂S⊂Q |
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(3)
⓪P⋃R={28,30,32},Q={26,27,28,29,31,32,33,34} 30∈P⋃Rかつ30∉Q ゆえに,P⋃R⊂Qは偽 ①S⋂Q={28},P={28,32} だから,S⋂Q⊂Pは真 ②Q⋂S={26,27,29,31,32,33,34} P={26,27,29,30,31,33,34,35} 32∈Q⋂Sかつ32∉P ゆえに,Q⋂S⊂Pは偽 ③P⋃Q={26,27, ,29,30,31, ,33,34,35} ⋃{26,27,28,29, ,31,32,33,34, } ⋃U S={26,27,29,30,31,32,33,34} 28,35∈P⋃Qかつ28,35∉S だから,P⋃Q⊂Sは偽 ④R⋂S={26,27,28,29, ,31,32,33,34,35} ⋂{26,27, ,29,30,31,32,33,34, } ={26,27, ,29, ,31,32,33,34, } Q={26,27,28,29, ,31,32,33,34, } ゆえに,R⋂S⊂Qは真 ①④→トナ |
【2015年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第2問 [1]
条件 (1) 次のアに当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つ選べ。
命題「(
⓪ (
① ( ② ( ③ ( |
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(2) 自然数nに対する条件
命題「( の反例となる。 |
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命題「(
「( まず30以下の自然数で,( n=3,5,11,17,29 このうちで,n+1が5の倍数であるものは, n=29 n+1が6の倍数でないものは, n=3 以上から,n=3, 29→イ,ウエ |
【2016年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問
[2] 次の問いに答えよ。必要ならば, (1) Aを有理数全体の集合,Bを無理数全体の集合とする。空集合を∅と表す。
次の(ⅰ)~(ⅳ)が真の命題になるように,サ,セに当てはまるものを,下の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
(ⅰ) Aサ{0}
(ⅱ)
(ⅲ) A={0}スA
(ⅳ) ∅=AセB
⓪ ∈ ① ∋ ② ⊂ ③ ⊃ ④ ⋂ ⑤ ⋃
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集合と要素の間での基本の書き方
(ⅰ) Aは集合,{0}も集合であることに注意する
要素∈集合,集合∋要素 集合⊂集合,集合⊃集合,集合⋂集合,集合⋃集合
A⊃{0}→③サ
(ⅱ)
{0}⋃A=A→⑤ス
(ⅳ) A⋂B=∅は明らか(実数のうちで有理数でないものを無理数という)
→④セ
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(2) 実数xに対する条件p, q, rを次のように定める。
p : xは無理数
次のソ,タに当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。q : x+ r :
pはqであるためのソ。
⓪ 必要十分条件であるpはrであるためのタ。 ① 必要条件であるが,十分条件でない ② 十分条件であるが,必要条件でない ③ 必要条件でも十分条件でもない |
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「p : xは無理数」のとき,例えば
「q : x+
以上から,pはqであるための必要条件①→ソこのとき,x=a
「p : xは無理数」のとき,例えば
「r :
以上から,pはrであるための必要条件でも十分条件でもない③→タ |
【2017年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問
[2] 実数xに関する2つの条件p, qを
p : x=1
とする。また,条件p, qの否定をそれぞれp,qで表す。q : x2=1 (1) 次のケ,コ,サ,シに当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
qはpであるためのケ。
⓪ 必要条件だが十分条件でないpはqであるためのコ。 (pまたはq)はqであるためのサ。 (pかつq)はqであるためのシ。 ① 十分条件だが必要条件でない ② 必要十分条件である ③ 必要条件でも十分条件でもない |
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[2](1)
p : x=1 ⓪→ケ
[式の変形で示す場合]
x=1の辺々を2乗するとx2=1になるから, x2−1=0を変形するとx±1=0 x=−1のとき,pが成り立たないから,
[集合図の包含関係で示す場合]
p : x≠1条件p, qに対応する集合をそれぞれP, Qで表すと 右図のようにP⊂Qだからp 他方で,−1∈Qかつ ③→コ
[式の変形で示す場合]
x=0のとき,x≠1であって,かつx2=1が成り立たないから, x=1のとき,x2=1かつx≠1が成り立たないから, |
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(pまたはq)
[式の変形で示す場合]
意外に難しい.集合図で考える方が分かりやすい人が多いと思われる. x=1またはx2=1 ここで,x2=1⇔(x=1またはx=−1)⇔(x≠1かつx≠−1) だから x=1または(x≠1かつx≠−1) ⇔(x=1またはx≠1)かつ(x=1またはx≠−1) ⇔(何でもあり)かつ(x=1またはx≠−1) ⇔x=1またはx≠−1 ⇔x≠−1 そこで x≠−1 x2=1
[集合図の包含関係で示す場合]
条件p, qに対応する集合をそれぞれP, Qで表す P⋃Q={x|x≠−1} Q={x|x=−1, 1} x=0∈(P⋃Q)のときx x=−1∈Qのときx |
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(pかつq)
[式の変形で示す場合]
(pかつq) ⇔ x≠1かつ(x=1またはx=−1) ⇔ (x≠1かつx=1)または(x≠1かつx=−1) ⇔ (ありえない)または(x≠1かつx=−1) ⇔ (x≠1かつx=−1) ⇔ x=−1 そこで x=−1
[集合図の包含関係で示す場合]
条件p, qに対応する集合をそれぞれP, Qで表す P⋃Q={x|x=−1} Q={x|x=−1, 1} だから (P⋃Q)⊂Q すなわち (pかつq) 他方で,1∈Qかつ1 Q |
(2) 実数xに関する条件rを
r : x>0
とする。次のスに当てはまるものを,下の
⓪~⑦のうちから一つ選べ。3つの命題
A : 「(pかつq)
の真偽について正しいものはスである。
B : 「q C : 「q
⓪ Aは真,Bは真,Cは真
① Aは真,Bは真,Cは偽 ② Aは真,Bは偽,Cは真 ③ Aは真,Bは偽,Cは偽 ④ Aは偽,Bは真,Cは真 ⑤ Aは偽,Bは真,Cは偽 ⑥ Aは偽,Bは偽,Cは真 ⑦ Aは偽,Bは偽,Cは偽 |
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p : x=1,p : x≠1
q : x2=1,q : x≠1かつx≠−1 r : x>0 このとき Aについて
(pかつq) ⇔ x=1 ⇒ x>0
Bについて
であるから,Aは真
q ⇔ x2=1
Cについて
x=−1のときx>0は成り立たないから x2=1 Bは偽
(q : x≠1かつx≠−1) ⇒ p : x≠1
以上から,Aは真,Bは偽,Cは真→ ②スであるから,Cは真 |
【2018年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問[2]
(1) 全体集合UをU={x|xは20以下の自然数}とし,次の部分集合A, B, Cを考える。
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
集合Aの補集合をAで表し,空集合を∅と表す。B={x|x∈Uかつxは3の約数} C={x|x∈Uかつxは偶数} 次のキに当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つ選べ。 集合の関係
(a) A⊂C
の正誤の組合せとして正しいものはキである。(b) A⋂B=∅
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A={1, 2, 4, 5, 10, 20}
B={3, 6, 9, 12, 15, 18} C={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} A⊂Cの真偽について調べる
5∈Aであるが5∉CだからA⊂Cは偽
A⋂Bについて調べる
A, Bの両方に入っている数はないから,A⋂B=∅が成り立つ
以上により,②→キ
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(2) 実数xに関する次の条件p, q, r, sを考える。
p : |x−2|>2,q : x<0,r : x>4, s :
次のケ,コに当てはまるものを,下の⓪~③のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。qまたはrであることは,pであるためのケ。また,sはrであるためのコ。
⓪ 必要条件だが十分条件ではない
① 十分条件であるが必要条件ではない ② 必要十分条件である ③ 必要条件でも十分条件でもない |
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(2)
p : x<0または4<x q : x<0 r : x>4 s : x<−2または2<x (qまたはr) ⇔ (x<0または4<x) ⇔ p ②必要十分条件である→ケ s ⇔ (x<−2または2<x) ⓪必要条件だが十分条件ではない→コ |
【2019年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問
[2] 二つの自然数m, nに関する三つの条件p, q, rを次のように定める。
p : mとnはともに奇数である
また,条件pの否定をpで表す。q : 3mnは奇数である r : m+5nは偶数である (1) 次のシ,スに当てはまるものを,下の⓪~②のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
二つの自然数m, nが条件pを満たすとする。このとき,mが奇数ならばnはシ。また,mが偶数ならばnはス。
⓪ 偶数である
① 奇数である ② 偶数でも奇数でもよい |
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(2) 次のセ,ソ,タに当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
pはqであるためのセ。
pはrであるためのソ。 pはrであるためのタ。
⓪ 必要十分条件である
① 必要条件であるが,十分条件ではない ② 十分条件であるが,必要条件ではない ③ 必要条件でも十分条件でもない |
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p:mとnはともに奇数である
q:3mnは奇数である r:m+5nは偶数である
p:mまたはnは偶数である
q:3mnは偶数である r:m+5nは奇数である (mとnはともに奇数である) ⇔ (3mnは奇数である)だから pはqであるための必要十分条件⓪→セ (mとnはともに奇数である) ⇒ (m+5nは偶数である)は成り立つ (m+5nは偶数である) ⇒ (mとnはともに奇数である)について調べる
したがって (m+5nは偶数である) ⇒ (mとnはともに奇数である)は成り立たない. p ②十分条件であるが,必要条件ではない→ソ
表1から分かるように,
(m+5nは偶数である)場合に,(mまたはnは偶数である)とは限らない. したがって,p ③必要条件でも十分条件でもない→タ |
【2020年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問
[2] 自然数nに関する三つの条件p, q, rを次のように定める。
p : nは4の倍数である
条件p, q, rの否定をそれぞれp,q,rで表す。q : nは6の倍数である r : nは24の倍数である 条件pを満たす自然数全体の集合をPとし,条件qを満たす自然数全体の集合をQとし,条件rを満たす自然数全体の集合をRとする。自然数全体の集合を全体とし,集合P, Q, Rの補集合をそれぞれP,Q,Rで表す。 (1) 次のスに当てはまるものを,下の⓪~⑤のうちから一つ選べ。
32∈ス
⓪ P⋂Q⋂R
① P⋂Q⋂R
② P⋂Q
③ P⋂Q
④ P⋂Q⋂R
⑤ P⋂Q⋂R
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32は4の倍数である(P)が,6の倍数でない(Q),24の倍数でない(R)
正確に言えば, 32∈P⋂Q⋂R であるが,これにちょうど当てはまるものはない.そこで,「もう少し範囲が広いが,間違いでないもの=必要条件となるもの」を探すと 32∈ (P⋂Q⋂R) ⊂ (P⋂Q) により,②→ス |
(2) 次のタに当てはまるものを,下の⓪~④のうちから一つ選べ。
P⋂Qに属する自然数のうち最小のものはセソである。
また,セソタRである。
⓪ = ① ⊂ ② ⊃ ③ ∈ ④ ∉
(3) 次のチに当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つ選べ。
自然数セソは,命題チの反例である。
⓪「(pかつq)
①「(pまたはq)
②「r
③「(pかつq)
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P⋂Qに属するものは,4の倍数であって,かつ,6の倍数だから,12の倍数.これを満たす自然数のうち最小のものは12→セソ
Rに属するものは,24の倍数.12∈R.③→タ 一般に, そこで ⓪の反例は,P⋂Q⋂Rに属する2になる→12は該当しない ①の反例は,(P⋃Q)⋂R:4または6の倍数であって,かつ,24の倍数,すなわち,24の倍数になる→12は該当しない ②の反例は,R⋂(PまたはQ):24の倍数であって,かつ,(4の倍数でないかまたは6の倍数でないもの)→このようなものは存在しないから,12は該当しない ③の反例は,(PまたはQ)かつR:(4の倍数または6の倍数)であって,かつ,24の倍数でないもの→12はこれに該当する→チ |
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