高校数学・命題,条件,証明

必要条件,十分条件（入試問題）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，必要条件・十分条件(入試問題)のバックアップおよびマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルで読めないときや，元の教材がなくなってしまったとき（高齢者がいつまでも生きている訳ではない）などに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • 確率 • ２次関数• ２次不等式 • 集合・命題・条件・証明

【単元内の目次】 • 集合(1) • 集合(2) • 部分集合,包含関係 • 和集合,共通部分 • 補集合 • 和集合,共通部分,補集合（練習問題） • ド・モルガンの法則• 集合の表し方（オイラー図） • 集合の要素を用いた証明 • 必要条件と十分条件（等式の問題）• 必要条件と十分条件（不等式の問題）• 反例 • 集合，必要条件，十分条件（共通,センター問題）• 集合と条件（センター問題）• 必要条件と十分条件（入試問題）• pならばqの真偽 • 逆・裏・対偶　• 対偶証明と背理法• 背理法の入試問題

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■必要条件・十分条件(入試問題)■

-- 図1 --

• 式の変形で考えるときは，「p⇒q」が成り立つとき，「pはqであるための十分条件」「qはpであるための必要条件」という．
• 図で考えるときは，卵の黄身のように「中に入る小さい方を十分条件」，卵の白身のように「外側の大きい方を必要条件」という．

• pがqの必要条件であるか，十分条件であるかを判断するためには，「とにかくpとqの間に２つの矢印を書く」「どちら向きの矢印が成り立つかを調べる」
（※図１の「十要は重要」の向きを見る事）

• 右図のように「p→q」が成り立ち，「q→p」が成り立たない場合は，「pはｑの（pはqであるための）十分条件である」という．

• 右図のように「q→p」が成り立ち，「p→q」が成り立たない場合は，「pはｑの（pはqであるための）必要条件である」という．
• 両方とも成り立つ場合は「必要十分条件」，どちらも成り立たない場合は「必要条件でも十分条件でもない」という．

難易度の目安

基　本：★☆☆

普　通：★★☆

やや難：★★★

【問題1】★☆☆
　条件「x4=1」は条件「x=1」の必要条件か，十分条件か，必要十分条件か，あるいあはそのいずれでもないか，答えなさい．

（2000年度名古屋学院大経済学部）

［解説を読む］

x4=1 ⇔ (x2+1)(x+1)(x−1)=0 ⇔ x=±i, −1, 1
であるから
「x4=1」 $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ 「x=1」

$\overset{\times}{\Longrightarrow}$ の理由
　x4=1のとき，x=1とは限らず，x=−1の場合やx=±iの場合もあり得るから
$\underset{\circ}{\Longleftarrow}$ の理由
　代入すれば成り立つのは明らかだから

以上から，必要条件･･･（答） →解説を隠す←

【問題2】★☆☆
　つぎの1から6の文中の空欄にあてはまるものを後述の選択肢(1)～(4)のうちから１つ選び，番号で答えなさい．文中x, yはともに実数とする．
1. 「x>0」は「x≧0」のための．
2. 「x=0」は「x2+y2=0」のための．
3. 「xy=0」は「x=0かつy=0」のための．
4. 「x2+y2=1」は「x+y=0」のための．
5. 「すべてのxについてxy=0である」は「y=0」のための．
6. 「(xy)2が無理数である」は「xまたはyが無理数である」のための．

［選択肢］

(1) 必要十分条件である
(2) 十分条件であるが必要条件ではない
(3) 必要条件であるが十分条件ではない
(4) 必要条件でも十分条件でもない

（2009年度慶應義塾大環境情報学部）

［解説を読む］

1. → (2)

「x>0」ならば「x≧0」は，成り立つ
「x≧0」ならば「x>0」は，x=0のとき成り立たない
よって，x>0 $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ x≧0となるから，十分条件(2)

2. → (3)

「x=0」ならば「x2+y2=0」は，成り立たない．

∵y≠0のとき，x2+y2>0になる

「x2+y2=0」ならば「x=y=0」となるから，x=0は成り立つ
よって，
x=0 $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ x2+y2=0となるから，必要条件(3)

3. → (3)

「xy=0」ならば「x=0かつy=0」は，成り立たない．

∵x=0, y=1のとき，「xy=0」であるが「x=0かつy=0」にはならない

「x=0かつy=0」ならば「xy=0」は成り立つ
よって，
xy=0 $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ x=0かつy=0となるから，必要条件(3)

4. → (4)

「x2+y2=1」ならば「x+y=0」は，成り立たない．

∵x=0, y=1のとき，「x2+y2=1」であるが「x+y=0」にはならない

「x+y=0」ならば「x2+y2=1」は，成り立たない．

∵x=0, y=0のとき，「x+y=0」であるが「x2+y2=1」にはならない

よって，x2+y2=1 $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ x+y=0となるから，必要でも十分でもない(4)

5. → (1)

「すべてのxについてxy=0である」ならば「y=0」は，成り立つ．

∵「すべてのxについてxy=0である」のとき，例えばx=1のときもxy=0になるはずだから，「y=0」が成り立つ

「y=0」ならば「すべてのxについてxy=0である」は，成り立つ．
よって，すべてのxについてxy=0である $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ y=0となるから，必要十分条件(1)

6. → (2)

「(xy)2が無理数である」ならば「xまたはyが無理数である」は，成り立つ．

∵「xもyも有理数である」ならば「(xy)2は有理数である」から，その対偶によって示される

「xまたはyが無理数である」ならば「(xy)2が無理数である」は，成り立たない．

∵ $x=0,\hspace{2}y=\sqrt{2}$ のとき，「xまたはyが無理数である」が，(xy)2=0だから，「(xy)2が無理数」にはならない

よって，「(xy)2が無理数である」 $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ 「xまたはyが無理数である」となるから，十分条件(2)

→解説を隠す←

【問題3】★☆☆
　x, yが実数であるとき，次の文中の空欄に当てはまるものを，下の1, 2, 3, 4から１つ選べ．

(ⅰ)

「x+y>0かつxy>0」は，「x>0かつy>0」であるためのア．

(ⅱ)

「x+y>2またはx+y<−2」は，「x>1かつy>1」であるためのイ．

(ⅲ)

「|x|<1かつ|y|<1」は，「xy+1>x+y」であるためのウ．

(ⅳ)

「y≦x2」は，「y≦x」であるためのエ．

(ⅴ)

「x2+y2<2」は，「|x|+|y|<2」であるためのオ．

1. 必要十分条件である
2. 必要条件であるが，十分条件ではない
3. 十分条件であるが，必要条件ではない
4. 必要条件でも十分条件でもない

（2011年度成蹊大経済学部）

［解説を読む］

(ⅰ) の解は1.　すなわち，次の通り
「x+y>0かつxy>0」 $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ 「x>0かつy>0」
$\underset{\Longrightarrow}{\circ}$ の証明：
xy>0より「x>0かつy>0」･･･(*1)または「x<0かつy<0」･･･(*2)
次に，x+y>0により，(*1)が成り立ち(*2)は成り立たない．
$\underset{\circ}{\Longleftarrow}$ は明らか

(ⅱ)の解は2.　すなわち，次の通り
「x+y>2またはx+y<−2」 $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ 「x>1かつy>1」
$\underset{\Longrightarrow}{\times}$ の証明：
x=−2かつy=−3のとき，x+y<−2が成り立つから，「x+y>2またはx+y<−2」が成り立つ．しかし，「x>1かつy>1」は成り立たない．
$\underset{\circ}{\Longleftarrow}$ は明らか

(ⅲ)の解は3.　すなわち，次の通り
「|x|<1かつ|y|<1」(A) $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ 「xy+1>x+y」(B)
「xy+1>x+y」⇔「(x−1)(y−1)>0」
⇔「(x−1)>0かつ(y−1)>0」または「(x−1)<0かつ(y−1)<0」
⇔「x>1かつy>1」または「x<1かつy<1」

　右図のように，(A)の領域⊂(B)の領域だから，(A) $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ (B)
となる

(ⅳ)の解は4.　すなわち，次の通り

「y≦x2」 $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ 「y≦x」
• 例えば，「y≦x2」を満たす点x=−1, y=0は，「y≦x」を満たさないから， $\overset{\times}{\Longrightarrow}$
• 例えば，「y≦x」を満たす点x=0.5, y=0.5は，「y≦x2」を満たさないから， $\underset{\times}{\Longleftarrow}$

(ⅴ)の解は3.　すなわち，次の通り
「x2+y2<2」 $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ 「|x|+|y|<2」
• x2+y2=2の半径は $\sqrt{2}$
• ±x±y=2と原点との距離は $\frac{|2|}{\sqrt{1+ 1}}=\sqrt{2}$
→解説を隠す←

【問題4】★☆☆
　実数aに関する条件p, q, rを次のように定める．

p : a2≧2a+8
q : a≦−2またはa≧4
r : a≧5

(1) 次のクに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つ選べ．

pはqであるためのク．

⓪　必要十分条件である
①　必要条件であるが，十分条件でない
②　十分条件であるが、必要条件でない
③　必要条件でも十分条件でもない

(2) 条件qの否定を $\bar{q}$ ，条件rの否定を $\bar{r}$ で表す．
　次のケ，コに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

命題「pならばケ」は真である．
命題「コならばp」は真である．

⓪ qかつ $\bar{r}$ 　　 ① qまたは $\bar{r}$
② $\bar{q}$ かつ $\bar{r}$ 　　③ $\bar{q}$ または $\bar{r}$

（2009年度センター試験）

［解説を読む］

(1)
ク←⓪

p : a2≧2a+8 ⇔ a2−2a−8≧0
⇔ (a−4)(a+2)≧0 ⇔ a≦−2, 4≦a : q
以上により，pはqであるための必要十分条件⓪

(2)
ク←①

命題 $p,q,r,\bar{p},\bar{q},\bar{r}$ に対応する集合を各々 $P,Q,R,\bar{P},\bar{Q},\bar{R}$ で表して，図示すると右図のようになる

$P\subset(Q\cup\bar{R})$
が成り立つ

$P\supset(Q\cup\bar{R})$
が成り立つ

与えられた集合の中で，他に集合Pとの包含関係が決まる集合はない

→解説を隠す←

【問題5】★☆☆
　自然数nを自然数mで割った余りr ( 0≦r<m※ )を
n mod mと書く．x, yは０以上の整数として，つぎの8つの条件のそれぞれが x mod 2=y mod 2 の必要十分条件であるかどうかを判定せよ．もし，必要十分条件なら1を，そうでなれけば0を対応する解答欄にマークしなさい．

1. x+yは奇数である．

2. x+yは偶数である．

3. xyは奇数である．

4. xyは偶数である．

5. 3x+7yは偶数である．

6. (x+1)y2は奇数である．

7. x+yおよびはxyはともに偶数である．

8. xyは4で割り切れない偶数である．

（2009年度慶應義塾大総合政策学部）

上記の※印の部分は，原文を訂正した結果

［解説を読む］

x mod 2=y mod 2とは，「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組になる」ということだから
1. → 0

「x+yは奇数である」ならば「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」ではない
※逆の真偽も調べてもよいが，この段階で，必要十分ではない→0は言える

2. → 1

「x+yは偶数である」ならば「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」は成り立つ

∵対偶：「x, yが"偶数と奇数"の組」ならば「x+yは奇数である」が真だから

「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」ならば「x+yは偶数である」は成り立つ
以上により，「x+yは偶数である」 $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ 「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」

3. → 0

「xyは奇数である」ならば「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」は成り立つ

∵実際には，奇数と奇数の組になっている

「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」ならば「xyは奇数である」は成り立たない

∵偶数と偶数の組のとき，xyは奇数にならない

以上により，「xyは奇数である」 $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ 「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」

4. → 0

「xyは偶数である」ならば「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」は成り立たない

∵奇数と偶数の組でも，xyは偶数になるから

※逆の真偽も調べてもよいが，この段階で，必要十分ではない→0は言える

5. → 1

「3x+7yは偶数である」ならば「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」は成り立つ

∵x, yが奇数と偶数の組のとき，3x, 7yは奇数と偶数になるから，3x+7yは奇数になる．よって，対偶によって示される．

「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」ならば「3x+7yは偶数である」は成り立つ

∵x, yが"偶数と偶数"のときは，3x+7yは偶数になる．
x, yが"奇数と奇数"のときも，3x+7yは偶数になる．

以上により，「3x+7yは偶数である」 $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ 「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」

6. → 0

「(x+1)y2は奇数である」ならば「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」は成り立たない

∵「(x+1)y2は奇数である」ならば「x+1, yが奇数」，したがって「xが偶数，yが奇数」

※逆の真偽も調べてもよいが，この段階で，必要十分ではない→0は言える

7. → 0

「x+yおよびxyはともに偶数である」ならば「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」は成り立つ

∵「x+yおよびxyはともに偶数である」ならば「x, yとも偶数」，したがって，「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」は成り立つ

「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」ならば「x+yおよびxyはともに偶数である」は成り立たない

∵「x, yがともに奇数である」ならば「xyは奇数になる」

以上により，「x+yおよびxyはともに偶数である」 $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ 「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」

8. → 0

「xyは4で割り切れない偶数である」ならば「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」は成り立たない

∵x=1, y=2のとき，「xyは4で割り切れない偶数である」であるが「x, yが"偶数と偶数"か"奇数と奇数"の組」になっていない

※逆の真偽も調べてもよいが，この段階で，必要十分ではない→0は言える

→解説を隠す←

【問題6】★☆☆
　a, bを有理数とする．次の命題(1), (2)はそれぞれ「a+bが整数である」ための

「必要条件であるが，十分条件でない」，
「十分条件であるが，必要条件でない」，
「必要十分条件である」，
「必要条件でも十分条件でもない」

のいずれであるかを述べ証明せよ．
(1)　「a, bはともに整数である」
(2)　(1)または「a, bはいずれも整数ではない」

（2000年度山口大）

［解説を読む］

(1)
「a, bはともに整数である」ならば「a+bが整数である」は真
「a+bが整数である」ならば「a, bはともに整数である」は偽

反例：a=0.3, b=0.7のとき，「a+bが整数である」が「a, bはともに整数である」と言えない

「十分条件であるが，必要条件でない」･･･（答）
(2)
「『a, bはともに整数である』または『a, bはいずれも整数ではない』」ならば「a+bが整数である」は偽

反例：a=0.1, b=0.2のとき，『a, bはいずれも整数ではない』が「a+bが整数である」と言えない

「a+bが整数である」ならば「『a, bはともに整数である』または『a, bはいずれも整数ではない』」は真

a+b=n（nは整数）のとき，

aが整数であるならば，b=n−aも整数になる．
bが整数であるならば，a=n−bも整数になる．
aが整数でないならば，b=n−aも整数でない．
bが整数でないならば，a=n−bも整数でない．

以上のように，「a+bが整数である」ならば「『a, bともに整数である』または『a, bはいずれも整数ではない』」

「必要条件であるが，十分条件でない」･･･（答）
→解説を隠す←

【問題7】★★☆
　実数x, yに対して，「x=1でないかまたはy=1」は(x−1)(y−1)=0であるための(ⅳ).　
(a)　必要十分条件である
(b)　十分条件だが必要条件ではない
(c)　必要条件だが十分条件ではない
(d)　必要条件でも十分条件でもない

（2011年度北見工業大）

［解説を読む］

「x=1でないかまたはy=1」
⇔「x≠1またはy=1」(A)

(x−1)(y−1)=0
⇔「x=1またはy=1」(B)

とすると(A)(B)のいずれも他方の部分集合でない．
• 例えば，x=2, y=3は(A)を満たすが(B)を満たさない．
したがって，(A)は(B)の十分条件ではない
• 例えば，x=1, y=2は(B)を満たすが(A)を満たさない．
したがって，(A)は(B)の必要条件ではない
(d)必要条件でも十分条件でもない･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】★★☆
(3) 有限集合Aの要素の個数をn(A)と表すことにする．
　２つの集合A, Bについて

• n(A∪B)≦n(A)は，A∪B=Øであるためのケ
• n(A)+n(B)≦n(A∩B)は，n(A∪B)=Øであるためのコ
• n(A∪B)≦n(A)は，A⊂Bであるためのサ
• n(A∪B)≦n(A∩B)は，A⊂Bであるためのシ

　ただし，ケ，コ，サ，シには，次の選択肢の中から適切なものを選び，その記号(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，(ⅳ)のいずれかを書け．

(ⅰ) 必要条件であるが十分条件ではない．
(ⅱ) 十分条件であるが必要条件ではない．
(ⅲ) 必要十分条件である．
(ⅳ) 必要条件でも十分条件でもない．

（2021年度神奈川工科大）

［解説を読む］

　集合の要素の個数を右図のようにx, y, zで表すことにする．（以下の問題でも同様）
　ただし，x, y, zには重複はなく，例えばn(A)=x+y, n(B)=y+zとなる．
　また，x, y, z≧0だから，例えばx+y≦0ならばx=y=0が言える
ケ←(ⅰ)

n(A∪B)≦n(A)ならば

x+y+z≦x+y → y+z≦0 → y=z=0 → B=Ø
→× A∪B=Ø

A∪B=Øならば

x+y+z=0 → x=y=z=0 →〇 n(A∪B)≦n(A)

以上から，n(A∪B)≦n(A) $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ A∪B=Ø
となるから，必要条件(ⅰ)

コ←(ⅲ)

n(A)+n(B)≦n(A∩B)ならば

(x+y)+(y+z)≦y → x+y+z≦0 → x=y=z=0
→〇 n(A∪B)=Ø

n(A∪B)=Øならば

x+y+z=0 → x=y=z=0
→〇 n(A)+n(B)≦n(A∩B)

以上から，
n(A)+n(B)≦n(A∩B) $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}$ n(A∪B)=Ø
となるから，必要十分条件(ⅲ)

サ←(ⅳ)

n(A∪B)≦n(A)ならば

x+y+z≦x+y → z≦0 → z=0 →× A⊂B

※正しくはA⊃Bになる

A⊂Bならば

x=0 →× n(A∪B)≦n(A)

以上から，
n(A∪B)≦n(A) $\overset{\overset{\times}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ A⊂B
となるから，必要条件でも十分条件でもない(ⅳ)

シ←(ⅱ)

n(A∪B)≦n(A∩B)ならば

x+y+z≦y → x+z≦0 → x=z=0 →〇 A⊂B

A⊂Bならば

x=0 →× n(A∪B)≦n(A∩B)

※すなわちy+z≦yとはならない

以上から，n(A∪B)≦n(A∩B) $\overset{\overset{\circ}{\Longrightarrow}}{\underset{\times}{\Longleftarrow}}$ A⊂B
となるから，十分条件(ⅱ)

→解説を隠す←

【問題9】★★☆
　rは正の定数とする．実数x, yに関する条件p, qを次で定める．

p : −5≦x+y≦5かつ−5≦x−y≦5
q : x2+y2−2x−4y+5≦r2

(ⅰ) 「pはqであるための必要条件である」ような正の定数rの範囲はオである．
(ⅱ) 「pはqであるための十分条件である」ような正の定数rの範囲はカである．

（2021年度東海大学医学部）

［解説を読む］

　pは，右図の桃色で示した範囲Pに対応する（境界線を含む）
　qは，(x−1)2+(y−2)2≦r2と変形できるから，点(1, 2)を中心とする半径rの円の内部及び周上Qに対応する
　Q⊂Pとなるためにはrは点(1, 2)と直線x+y=5の間の距離
$\frac{1+ 2-5}{\sqrt{1^1+ 1^2}}=\sqrt{2}$
以下であればよい．オ← $0\lt r\underset{=}{\lt}\sqrt{2}$
　P⊂Qとなるためにはrは点(1, 2)と点(0, −5)の間の距離
$\sqrt{1^2+ 7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
以上であればよい．カ← $r\underset{=}{\gt}5\sqrt{2}$
（なお，点(1, 2)と点(−5, 0)の間の距離 $\sqrt{6^2+ 2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ は上記よりも小さい） →解説を隠す←

【問題10】★★★
　a, b, cを定数とし，a≠0とする．条件p, q, r, s, tを次のように定める．

p: 方程式ax2+bx+c=0は異なる2つの実数解をもつ
q: 座標平面で関数y=ax2+bx+cのグラフはx軸と異なる2点で交わる
r:ac<0である
s:b2−ac>0である
t:(a+b+c)(a−b+c)<0である

　このとき，qはpのケ．rはqのコ．sはpのサ．tはqのシ．

①必要十分条件である②必要条件であるが，十分条件でない
③十分条件であるが，必要条件でない④必要条件でも十分条件でもない

（2014年度金沢工業大）

［解説を読む］

ケ←①

a≠0のとき，D=b2−4ac>0とp, qが同値であることは，教科書レベルの基本です

コ←③

a≠0のとき

ac<0→D=b2−4ac>0

は言えるが

D=b2−4ac>0→ac<0

は必ずしも成り立たない．例えば，a=1, b=1, c=0のとき，D=b2−4ac>0であるがac<0ではない.
以上から，rはqの十分条件

サ←②

a≠0のとき

ア） ac>0ならば
　D=b2−4ac>0 ⇔ b2>4ac>acだからb2>acが成り立つ
イ） ac<0ならば
　D=b2−4ac>0の符号が正負のいずれであってもb2>acが成り立つ
ウ） ac=0ならば
　D=b2−4ac>0 ⇔ b2>4ac=acだからb2>acが成り立つ

よって，「qならばsは成り立つ．」

※右図のように，b=x, ac=y, 4ac=yのグラフで考えてもよい

逆に，a≠0のとき

b2>acでもb2>4ac>0が成り立つとは限らない
例えば，b=2, a=1, c=1のとき，b2−ac=3>0であるがb2−4ac>0ではない.
以上から，sならばrは成り立たない

シ←③

f(x)=ax2+bx+cとおくと

条件tは，f(1)f(−1)<0を表している．すなわち，y=f(x)のグラフは，x=1とx=−1の間でx軸と交わる．
したがって，「tならばqは成り立つ」
逆に，「qならばtは必ずしも成り立たない」

右図のように，f(1)とf(−1)が同符号であっても，D=b2−4ac>0となることがある．
例えば，a=1, b=0, c=−4のとき，b2−4ac>0であるがf(1)f(−1)<0ではない.

→解説を隠す←

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