高校数学・命題,条件,証明

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，対偶証明法と背理法のバックアップおよびマイナーチェンジありのカバー版です． ♫♣ 元の教材が通信トラブルで読めないときや，元の教材がなくなってしまったとき（高齢者がいつまでも生きている訳ではない）などに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • 確率 • ２次関数• ２次不等式 • 集合・命題・条件・証明 【単元内の目次】 • 集合(1) • 集合(2) • 部分集合,包含関係 • 和集合,共通部分 • 補集合 • 和集合,共通部分,補集合（練習問題） • ド・モルガンの法則• 集合の表し方（オイラー図） • 集合の要素を用いた証明 • 必要条件と十分条件（等式の問題）• 必要条件と十分条件（不等式の問題）• 反例 • 集合，必要条件，十分条件（共通,センター問題）• 集合と条件（センター問題）• 必要条件と十分条件（入試問題）• pならばqの真偽 • 逆・裏・対偶　• 対偶証明と背理法• 背理法の入試問題 ※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，注意してください．

== 対偶証明法と背理法 == 《解説》 **** １　対偶証明法 **** ■　条件pを満たすものの全体を集合Pで，条件qを満たすもの全体を集合Qで表わすとき，命題「p→q」は，P⊂Qに対応します． 　p，qあるいはp(x), q(x)が条件であるとき，この条件が成り立つかどうかはxの値しだいです． 例　条件x>1をp(x)で表わすとき，x=2ならばp(x)は真ですが，x=0ならばp(x)は偽です． 　このように，条件については（どんなxについても成り立つ［あるいは成り立たない］ような特別なものを除いて），それ自体の真偽を問うことはまれです－－条件は命題と異なり，真偽が定まるとは限りません．条件を満たすものの集合を考えるだけです．

これに対して，「すべてのxに対して，p(x)が成り立つ」「あるxについて，p(x)が成り立つ」という主張・判断は，正しいか間違っているかが定まる命題となります．一般に，条件p(x)に対して，「すべてのxについて」あるいは「あるxについて」という述語を付けたものは命題になります． 例　すべてのxについて，x>1 は，x=0, −1などで成立しないので偽の命題です． 例　（文字を実数の範囲で考えるものとするとき） 　すべてのxについて，x2+1>0 は，真の命題です．（どんな実数xについても成立するからです．） 　あるxについて，x2+2x+2<0 は，偽の命題です．（この不等式には解がないからです．） 【重要】 　ところで，一般に 　　「p(x)→q(x)」 は 　　 「すべてのxについて，p(x)→q(x)」 が省略されたものと決められています． そこで， 　　「p(x)→q(x)」 は 　　 「すべてのxについて，p(x)→q(x)」 の省略だから，命題です． （真か偽かのいずれかに決まります）

■　p→qが成り立つとき，すなわちP⊂Qのとき， Q⊂Pだからq→pです． 　逆に，q→pが成り立つとき，すなわちQ⊂Pのとき，P⊂Qだからp→qです．   一般に，p→qとq→pの真偽は一致します． そこで，p→qを証明したいときに，直接示すのが困難な場合，q→pを示せばよいことになります． ＜対偶証明法＞ q→pを証明することにより，p→qを間接的に証明する方法

■　対偶証明法の例 例１ x+y+z≧0のとき，x, y, zの少なくとも１つは０以上であることを証明しなさい． （答案） 少なくとも１つは０以上の否定は，全部０より小さい 「x, y, z<0ならばx+y+z<0」が成り立つ 対偶が真であるから，元の命題も真である． 例２ nが自然数を表わすとき，n2が奇数ならば，nは奇数であることを証明しなさい． （答案） n=2k（偶数）と仮定すると，n2=4k2=2(2k2)は偶数になる． よって対偶により示された． 例３ 既約分数の分母・分子のどちらかは奇数であることを示しなさい． (答案) 既約分数において，m, nともに偶数と仮定すると，分母・分子は２で約分できることになり，既約分数でなくなる。 よって，対偶により示された。　(※Not「少なくとも一方が奇数である」=「両方とも偶数である」) 例４ m, n自然数とするとき，が既約分数であるならば，も既約分数であることを証明しなさい． （答案） m, nが互いに素でないと仮定すると，m=km’, n=kn’(kは2以上の整数)とおける． このとき， はkで約分できる．よって対偶により示された． ※　我々の思考は，「個々の要素についての条件」から，「複合的な条件」の成否を判断する方が自然なので， 　「複合的な条件」から「個々の要素についての条件」を証明するような問題は，対偶で考えると分かりやすくなります．

《問題》 ≪１≫ 　x+y≧2ならばx, yのうち少なくとも１つは１以上であることを証明しなさい． (ア，イに入る語句を右欄から選んでクリックしなさい．選択すれば採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．)
（答案） x, yの［　ア　］ならば［　イ　］となる． よって対偶により示された． 解説を見る 「x, yの両方とも１より小さいならば，x+y<2」となるから，対偶によって示される． →解説を隠す←	［　ア　］ 両方とも１以下 両方とも１より小さい 少なくとも１つは１以下 少なくとも１つは１より小さい ［　イ　］ x+y≧2 x+y>2 x+y≦2 x+y<2

≪２≫ 　整数m, nについて，mnが奇数ならば，m, nはともに奇数であることを証明しなさい． (ア，イに入る語句を右欄から選びなさい．)
（答案） m, nの［　ア　］ならば［　イ　］となる． よって対偶により示された． 解説を見る 「m, nの少なくとも一方が偶数ならば，mnは偶数」となるから，対偶によって示される． →解説を隠す←	［　ア　］ 両方とも奇数 両方とも偶数 少なくとも一方が奇数 少なくとも一方が偶数 ［　イ　］ mnは奇数 mnは偶数

≪３≫ 　x2+y2≦1ならばx≦1であることを証明しなさい． 　(ア，イに入る語句を右欄から選びなさい．)
（答案） y2≧0だから，［　ア　］ならば［　イ　］となる． よって対偶により示された． 解説を見る 「y2≧0だから，x>1ならばx2+y2>1」となる．よって，対偶によって示された． →解説を隠す←	［　ア　］ x>1 x<1 x≧1 x≦1 ［　イ　］ x2+y2>1 x2+y2<1 x2+y2≧1 x2+y2≦1

**** ２　背理法 **** ■　背理法と対偶証明法は別のものです．背理法の一部に対偶証明法を用いることもありますが，そのような場合だけではありません． ■　イラストによる背理法の説明 ■　qとqで世界の全部です． これ以外にはありません：Q∪Q=U（全体集合） ■　p→qを証明したいが，qに行くのが困難なとき， 行きたくない方の道qに進んでみて，そちらに進めば世界が破滅してしまう（矛盾がある）ことを言う． （おとぎばなしによる解説） 地獄に行って，地獄を壊してしまうと天国だけが残ります・・・地獄に行かないと天国には行けません．) ＃～地獄を見たものにしか，天国なんて分かるはずはないのだ，クソ－負けてたまるか～＃ と自分に言い聞かせると覚えやすい pとqを仮定して矛盾を示す． （ｐも仮定します．） p q→p という形でpとpが矛盾という構造でもよい．(一部に対偶証明法q→pを用いる) p　 q→（数学的常識に反すること：1+1=1など） という構造でもよい．

■イラストによる背理法の説明(2) 　論理的な関係（pならばq）は，集合ではに対応します． とは P：卵の黄身が Q：卵の白身の 中にあることだと思えばよい 　言い換えれば，集合の関係としてとなっていることを示せば，の証明になります． 　この証明は，集合P, Qの関係が一般のゆるい関係，すなわちP独自の部分，Q独自の部分，P, Qの共通部分から成り立っているのではなく， が空集合になることを言えばよい．（右図の×印の部分が空集合になることを言う）． 　そうすると「P：卵の黄身」は「Q：卵の白身」の中にある部分だけから成り立っていることになり，が言える． 　が空集合になること（右図の×の部分には何もないこと）を示すには，「Pであって」かつ「である」ものが存在すると仮定すると，矛盾を生じることを示せばよい． 　何かある要素xが，かつを満たすとすると具合の悪いことが起こることを示せばよい． ＜背理法＞ pとqを仮定して矛盾を示す方法 ※pを仮定することが重要．この点が対偶証明法と異なり，結論としてpが導ける場合に限られず，他の内容でも数学的に矛盾することが示せたら何でもよいので，自由度が大きい． ■　背理法の例 例１ 自然数a, b, cについて，a2+b2=c2が成り立つとき，a, b, cのうち少なくとも１つは偶数であることを証明しなさい． （答案） a2+b2=c2・・・(1) a, b, cは奇数・・・(2)　と仮定する． (2)よりa2+b2は奇数＋奇数で偶数となり，c2は奇数・・・(3) (3)は(1)と矛盾する． ゆえに，a, b, cのうち少なくとも１つは偶数である． 例２ が無理数であることを用いて，が無理数であることを証明しなさい． (答案) （m, nは整数）と仮定する． 両辺を２乗すると となるが，左辺は無理数，右辺は有理数なので矛盾． ゆえに，は無理数 例３ △ABCにおいて， a<bならば∠A<∠B･･･(1) a=bならば∠A=∠B･･･(2) a>bならば∠A>∠B･･･(3) が成り立つ．これらを用いて，(1)(2)(3)の逆が成り立つことを証明しなさい． （答案） ∠A<∠Bのとき， a=bと仮定すると(2)により∠A=∠B．これは∠A<∠Bと矛盾する． a>bと仮定すると(3)により∠A>∠B．これは∠A<∠Bと矛盾する． 以上により，∠A<∠Bならばa<b (2)(3)の逆も同様にして示される． 背理法の一種の「転換法」と呼ばれる方法です．転換法は(1)(2)・・・の仮定側がすべての場合を尽くしていて，(1)(2)・・・の結論側に共通部分がなければいつでも使える． 【転換法の他の例1】 実係数の２次方程式ax2+bx+c=0 (a≠0)･･･(#1)の判別式をD=b2−4acとすると • D>0ならば(#1)は異なる２つの実数解をもつ･･･(#2) • D=0ならば(#1)は実数の重解をもつ･･･(#3) • D<0ならば(#1)は異なる２つの虚数解をもつ･･･(#4) (#2)(#3)(#4)の仮定はすべての場合を尽くしており，結論に共通部分がないから，転換法により(#2)(#3)(#4)の逆が証明できる 【転換法の他の例2】 円の中心とある直線の距離をdとし，円の半径をrとすると • d<rならば円と直線は異なる２点で交わる･･･(#1) • d=rならば円と直線は1点で接する･･･(#2) • d>rならば円と直線は共有点を持たない･･･(#3) (#1)(#2)(#3)の仮定はすべての場合を尽くしており，結論に共通部分がないから，転換法により(#1)(#2)(#3)の逆が証明できる 【転換法の他の例3】 △ABCの３辺の長さをa, b, cとするとき • b2+c2>a2ならば∠A<90°･･･(#1) • b2+c2=a2ならば∠A=90°･･･(#2) • b2+c2<a2ならば∠A>90°･･･(#3) (#1)(#2)(#3)の仮定はすべての場合を尽くしており，結論に共通部分がないから，転換法により(#1)(#2)(#3)の逆が証明できる 例４ 　素数は無限個あることを証明しなさい． （答案） 素数は有限個(n個)だけあると仮定し，これらをp1, p2, p3, .. , pnとおく このとき，p1p2p3･･･pn+1はp1, p2, p3, .. , pnのいずれでも割り切れない（１余る）から素数である． これは矛盾であるから，素数は無限個ある．（ユークリッドの証明） （注：とても難しい話） 　この式を利用して，素数を求めることはできない． 例えば，素数の小さいほうから順にp1=2, p2=3, p3=5, p4=7, p5=11, p6=13, p7=17, p8=19, ･･･とおくと 2×3+1=7は素数 2×3×5+1=31は素数 2×3×5×7+1=211：素数 2×3×5×7×11+1=2311は素数 2×3×5×7×11×13+1=59×509は素数でない 2×3×5×7×11×13×17+1=19×97×277は素数でない 2×3×5×7×11×13×17×19+1=347×27953は素数でない その他，ほとんど素数でなく，2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31+1=が珍しく素数になる程度．（100以下では，他に･･･61,･･･97だけのようである） 　このことは，ユークリッド原論に書かれている上記の証明が間違っているということではない．そもそも， 「素数は有限個 →p1p2p3･･･pn+1は素数」 は成り立つが，実際には素数は無限個あるのだから，その裏 「素数は無限個 →p1p2p3･･･pn+1は素数でない」 の真偽は定まらない．（詳しく言うと，すべての素数の積p1p2p3･･･pnは，無限個の積になるから1つの値に定まらない．ここでは，適当に選んだ有限の値nに対して，p1p2p3･･･pn+1を計算したら） 上記の実例から分かるように「p1, p2, p3, .. , pn以外の素数で割り切れる場合がある」 　だから，ユークリッドの証明は正しいが，この証明に用いた途中式を素数を生み出す式として利用することはできない． 例５ 　は無理数であることを証明しなさい． （答案） 　が有理数であると仮定し，とおく.　（ここに，m, nは整数で互いに素） 　※この証明を見て，「m, nは互いに素」などという根本的には重要でなさそうな仮定と矛盾するということによって証明を行っていることについて，普通の感覚の高校生なら，なんとなく割り切れない印象を持つかもしれない．（些細なことに言いがかりを付けて，話全体を否定しようとしているように見える） 　しかし，この証明は昔から有名な由緒ある証明で，高校生としては，まず 「♥～ラッキー～♫」 「♪～そんな形の矛盾でもよいのか～♣♬」 と感心して，次に「これに味をしめて」「機会があったら真似しよう」と考えるとよい ⇒ころんでもタダでは起きない"したたかさ"が重要 両辺を２乗すると 2m2=n2 　よって，nは２の倍数・・・(1) n=2kとおく 2m2=4k2 m2=2k2 　よって，nは２の倍数・・・(2) (1)(2)はm, nが互いに素という仮定に反し，矛盾． 　ゆえに，は無理数

《問題》 ≪１≫ 　２１人を４組に分けたとき，どの組かは必ず６人以上になることを証明しなさい． (ア，イ，ウに入る語句を右欄から選びなさい．)
（答案） ２１人を４組に分けたとする・・・(1) どの組も［　ア　］以下で４組あると仮定する・・・(2) (2)より合計［　イ　］以下となる．・・・(3) (3)は(1)と矛盾するから，［　ウ　］ 解説を見る ２１人を４組に分けたとする･･･(1) どの組も５人以下で４組あると仮定すると･･･(2) 合計２０人以下となる･･･(3) (3)は(1)と矛盾するから，どこかの組は６人以上 →解説を隠す←	［　ア　］ ４人　５人　６人 ［　イ　］ ２０人　２１人 ２４人　２５人 ［　ウ　］ 全部で３組以下 全部で５組以上 どこかの組は５人以上 すべての組は５人以上 どこかの組は６人以上 すべての組は６人以上

≪２≫ 　自然数a, b, cについて，a2+b2=c2が成り立つとき，a, b, cのうち少なくとも１つは３の倍数であることを証明しなさい． (ア，イ，ウに入る語句を右欄から選びなさい．)
（答案） a, b, cのいずれも［　ア　］と仮定する．･･･(1) ところで 　(3k)2=3(3k2) 　(3k+1)2=3(3k2+2k)+1 　(3k+2)2=3(3k2+4k+1)+1 だから，(1)のとき 　　c2は［　イ　］ 　　a2+b2は［　ウ　］ これらが等しいことは矛盾であるから， a, b, cのうち少なくとも１つは３の倍数である． 解説を見る a, b, cのいずれも３の倍数でないと仮定する．･･･(1) ところで，(3k)2=3(3k2)，(3k+1)2=3(3k2+2k)+1， (3k+2)2=3(3k2+4k+1)+1だから，(1)のとき， c2は３で割ると１余る， a2+b2は３で割ると２余る．これらが等しいことは矛盾であるから，a, b, cのうち少なくとも１つは３の倍数である． →解説を隠す←	［　ア　］ ３の倍数である ３の倍数でない ［　イ　］ ３で割ると１余る ３で割ると２余る ［　ウ　］ ３の倍数である ３で割ると１余る ３で割ると２余る

≪３≫ 　が無理数であることを用いて，が無理数であることを証明しなさい． (ア，イ，ウに入る語句を右欄から選びなさい．)
（答案） が［　ア　］であると仮定する．・・・(1) （rは［　ア　］）とおくと となる．･･･(2) (2)の左辺は［　イ　］，右辺は［　ウ　］ これは矛盾であるから，は無理数である． 解説を見る （rは有理数）とおくと，となる．(2)の左辺は無理数，右辺は有理数．これは矛盾であるから，は無理数である． →解説を隠す←	［　ア　］ 有理数 無理数 ［　イ　］ 有理数 無理数 ［　ウ　］ 有理数 無理数

**上記【転換法の他の例2】の再掲** ≪４≫ 　点Cを中心とする半径Rの円と直線Lがあって，点CからLにひいた垂線の長さをdとするとき， • d<RならばLは円と２点で交わる・・・(1) • d=RならばLは円と１点で接する・・・(2) • d>RならばLは円と共有点を持たない・・・(3) 　これらを用いて，(1)(2)(3)の逆をそれぞれ証明しなさい． (ア，イ，ウに入る語句を右欄から選びなさい．)
（答案） Lは円と２点で交わるとき，･･･(*) • d=RならばLは円と［　ア　］．これは(*)と矛盾する． • d>RならばLは円と［　イ　］．これは(*)と矛盾する． ゆえに，Lが円と２点で交わるとき，［　ウ　］． (2)(3)の逆も同様にして示される． 解説を見る Lは円と２点で交わるとき，･･･(*) • d=RならばLは円と１点で接する．これは(*)と矛盾する． • d>RならばLは円と共有点を持たない．これは(*)と矛盾する． ゆえに，Lが円と２点で交わるとき，d<R． (2)(3)の逆も同様にして示される． →解説を隠す←	［　ア　］ ２点で交わる １点で接する 共有点を持たない ［　イ　］ ２点で交わる １点で接する 共有点を持たない ［　ウ　］ d<R d=R d>R

≪５≫ 　nが２以上の整数であるとき，は無理数となることを証明しなさい． (ア，イ，ウに入る語句を右欄から選びなさい．)
（答案） 　 すなわち 　だから，は［　ア　］ではない．･･･(1) 　が［　イ　］であると仮定する･･･(2) (1)(2)より　とおくと　（p, qは正の整数で互いに素，p≠1）･･･(3) 辺々2乗すると 左辺は［　ウ　］で，右辺は(3)により［　ウ　］でない． これは矛盾であるから，は無理数 解説を見る だから，は整数ではない．･･･(1) 　が有理数であると仮定する･･･(2) (1)(2)より　とおくと　（p, qは正の整数で互いに素，p≠1）･･･(3) 辺々2乗すると 左辺は整数で，右辺は(3)により整数でない． これは矛盾であるから，は無理数 →解説を隠す←	［　ア　］ 整数 有理数 無理数 ［　イ　］ 整数 有理数 無理数 ［　ウ　］ 整数 有理数 無理数