pならばqの真偽
♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，pならばqの真偽のバックアップおよびマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルで読めないときや，元の教材がなくなってしまったとき（高齢者がいつまでも生きている訳ではない）などに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．
【単元の目次】
《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • 確率 • ２次関数• ２次不等式 • 集合・命題・条件・証明
※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，注意してください．

■pならばqの真偽
○　「p →　q」 ( p ならば q )　の真偽
【要点】
p，q の真偽に応じてp→q の真偽を次のように定める（定義）．
p q p　→　q
真 真 真…Ａ
真 偽 偽…Ｂ
偽 真 真…Ｃ
偽 偽 真…Ｄ

真偽を各々1,0の値で表わすときは，p→q の真理値を次のように定めることになる．
p q p　→　q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

※　p→qの真偽は，上の表のようにp，qの各々の真偽値の組合せによって決まる．

※　これに対して，「つねにp→qが成り立つ」，「すべての場合についてp→qが成り立つ」という命題も単に「p→q」と表され，その真偽を問うこともできます．
　「つねにp→qが成り立つ」という命題は上の表においてＢの欄がないとき（起らないとき），すなわち右図のように「（pであってかつqでないもの）」が存在しないとき（空集合になるとき）に「つねに真」になります．

○　個別の場合についての真偽を問うているのか，表全体で「つねに真となる」かどうかを問うているのかの２つの場面がある．

■１　【p，qの真偽が定まるときのp→qの真偽】
場合分けして答える．
■２　【つねにp→qが成り立つという命題の真偽】
（pであってかつqでないもの）がなければ真
（pであってかつqでないもの）があれば偽

 ○　左の表が「pならばq」「p→q」「pはqである」などの条件命題（条件文，含意命題，一般的伴立関係）の真偽についての数学的な定義（約束事）になっており，数学的な命題の真偽を判断するときは，これに当てはまるかどうかだけで考えることが重要です．

○　数学用語としての「pならばq」は，日常用語での「pならばq」とは異なっており，次のように約束と違反の２段階で考えるとよく分かります．
  • 「pならばq」とは「（pであってかつqでないもの）は存在しない」という約束だと考える
    あるいは，
    （pであってかつqでないこと）を禁止しているだけだと考える
  • その約束に対する違反があるときだけ偽とする

    条件命題の真偽は多くの生徒が間違います．上の表で言えば，ＡやＢで間違う生徒はいませんが，仮定が満たされていないとき：pでないときは結論が何であっても条件命題が真になる：ＣもＤも真になるということが日常用語と違うために間違いが起ります．

    一般に人間の思考は何にでも適用できる抽象的論理のまま記憶するのには適していないと言われており，「pならばq」の真偽を覚えるときも分かりやすい具体例と結びつけて覚える方がよいことになりますが，そのときにＣやＤのような場合が"関係ない"とか"灰色で判断に迷う"ような例ではなく，"疑わしいものは罰しない=キッパリと無罪=はっきりと白"と言える例を覚えておくのがよいことになります．（真か偽か（1か0か）の２つに分けなければならないのに，わからないとか0.5のようなどちらでもない結論を勝手に作ることはできません．）

    日常生活の中で，"灰色のものは白=疑わしいものは真"という論理に適しているのは刑事事件の中で禁止という約束に違反があるかどうかを考える例です．
    このような例を使って覚えると，（pであってかつqでないもの）だけに焦点を当てることができ，それ以外のものは真だと納得しやすくなります．
■２　「つねにpならばqが成り立つ」という命題の真偽
（pであってかつqでないもの）がなければ真
（pであってかつqでないもの）があれば偽
【例１】
　日本の法律では，運転手は免許を持っていなければならないことになっています．
（p：運転手）ならば（q：免許がある）
という形の条件命題について，
これを
（p：運転手）かつ（q：免許がない）ことが禁止されている
と考え，この法律に対する違反があるときは偽と答え，違反がないときは真と答えることにすると，次の表の左のp，中央のqに対する各々の真偽は右の列のように決まります．
■１　「各々の場合について（運転手ならば免許がある）」の真偽
ここで，運転手が真とは，ある人を調べたときにその人が運転手であれば，「運転手であるという」命題が真であるいうこと．運転手でなければ真理値は偽．その人が免許を持っていれば，免許があるは真，なければ偽で表す．
p
運転手		 q
免許がある		 p→q
（運転手）ならば（免許がある）
真 真 真…Ａ
真 偽 偽…Ｂ
偽 真 真…Ｃ
偽 偽 真…Ｄ

（解説）
  • Ａは（運転手）かつ（免許がある）のだから，
    違反はありません．（→真）

  • Ｂは（運転手）かつ（免許がない）のだから，
    違反です．（→偽）

  • Ｃは（運転手でなく）かつ（免許がある）のだから，
    違反はありません．（→真）

  • Ｄは（運転手でなく）かつ（免許がない）のだから，
    違反はありません．（→真）

■２　「すべての場合について（運転手ならば免許がある）」の真偽 　以上のように，運転手であるかどうか，免許があるかどうか，のいろいろな組み合わせがあるので，
（p：運転手）ならば（q：免許がある）
という命題は，常に成り立つとは限りません．
　しかし，次の図のように（運転手であってかつ免許のない人がいない）場合には，上の表でＡ，Ｃ，Ｄの場合しかない（Ｂの場合がない）ことになり，
（p：運転手）ならば（q：免許がある）が常に成り立つことになります．
　逆に，１人でも（運転手であってかつ免許のない人がいる）場合には，上の表でＢの場合があることになり，（p：運転手）ならば（q：免許がある）は成り立ちません．
【例２】
　ある高校の校則第○条では，「暴風警報が出ていれば休校とする」と規定されているものとします．
（p：暴風警報）ならば（q：休校）
という形の条件命題について，
これを
（p：暴風警報）かつ（q：授業）が禁止されている
と考え，この校則に対する違反があるときは偽と答え，違反がないときは真と答えることにすると，次の表の左のp，中央のqに対する各々の真偽は右の列のように決まります．
※この例では，授業の有無を判断するのは
校長なので，校長の判断が校則に違反して
いるかどうかという問題を扱っています．
■１　各々の場合について，（暴風警報ならば休校）の真偽
p
暴風警報		 q
休校		 p→q
（暴風警報）ならば（休校）
真 真 真…Ａ
真 偽 偽…Ｂ
偽 真 真…Ｃ
偽 偽 真…Ｄ

（解説）
  • Ａは（暴風警報が出ていて）かつ（休校になった）のだから，違反はありません．（→真）

  • Ｂは（暴風警報が出ていて）かつ（授業があった）のだから，違反です．（→偽）

  • Ｃは（暴風警報が出ていなくて）かつ（休校になった）のだから，違反はありません．（→真）
    　このケースが難しく思えるのは，刑事事件の場合のように「関係ない」ものは「白=真」にするという「みなし規定」が読む側に働かないためかもしれません．（禁止と違反という強い関係を持ってこないと，（pかつq）に焦点が当たらず，仮定が満たされないＣ，Ｄの場合の取り扱いで迷ってしまう．
    　別の見方として，一般に論理の問題であっても，結論が自分の信念に一致するものは真とされやすく，結論が自分の信念と一致しないときは偽とされやすいと言われており，結論が納得しにくいという事情があるかもしれません．このような常識派の人でも，次のように説明すれば納得してもらえるでしょう．「暴風警報は出ていないが，インフルエンザのために休校になった」場合には校則第○条に対する違反はない．

  • Ｄは（暴風警報が出ていなくて）かつ（授業があった）のだから，違反はありません．（→真）
■２　つねに（暴風警報ならば休校）が守られていたかどうかの真偽
　例えば１年間の学校運営の記録を見たときに，次の図のように（暴風警報が出ていて，かつ授業をした日がない）場合には，上の表でＡ，Ｃ，Ｄの場合しかない（Ｂの場合がない）ことになり，この１年間校則第○条は守られたことになります．
【例３】
（p：カラス）ならば（q：黒い）
という学説があるものとするとき，この学説が真になるか偽になるかを判断すると
■１　各々の場合についての（カラスならば黒い）の真偽
ここで，カラスが真とは，ある鳥を調べたときにその鳥がカラスであれば，「カラスであるという」命題が真であるいうこと．その鳥がカラスでなければ真理値は偽．その鳥が黒ければ，黒いは真，そうでなければ偽で表す．
p
カラス		 q
黒い		 p→q
（カラス）ならば（黒い）
真 真 真…Ａ
真 偽 偽…Ｂ
偽 真 真…Ｃ
偽 偽 真…Ｄ

（解説）
  • Ａは（カラスであって）かつ（黒い）のだから，学説には間違いはありません．（→真）

  • Ｂは（カラスであって）かつ（黒くない）のだから，学説に間違いがあります．（→偽）

  • Ｃは（カラスではなくて）かつ（黒い）のだから，学説には間違いはありません．（→真）

  • Ｄは（カラスではなくて）かつ（黒くない）のだから，学説には間違いはありません．（→真）
※　この例では，（カラスであって）かつ（黒くない）場合だけが学説に反するものになっていると考えることが重要です．

■２　「つねに（カラスは黒い）」という命題の真偽
　（p：カラス）ならば（q：黒い）という命題が成り立つのかどうかは，カラスとしてどの範囲の鳥を考えるかによって変わります．通常われわれが見るのはハシボソガラス，ハシブトガラスの２種類で，いずれも黒いので上の学説は正しいでしょう．
　しかし，カラスの一種まで広げると話が変わってきます．佐賀平野には，豊臣秀吉の朝鮮出兵（文禄の役・慶長の役）のときに，家臣が連れて帰ったと言われているカササギという名のカラスの一種がいて，胸のあたりが白くなっています．（私も汽車の窓から見たことがあります．）カラスの範囲をここまで広げてしまうと，上の学説はつねに正しいとは言えません．（Ｂの場合があります．）
【注目すべき点】

　この問題では，（カラスでない鳥）が（黒い）場合でも（白い）場合でも，命題（カラスならば黒い）が成り立つことになります．今までのどの例でもＣもＤも真となっています．このことは，次のようにまとめることができます．

○　仮定pが成り立たないときは，結論qが何であっても（pならばq）の命題は真になる．
p q p　→　q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

※次のような逸話と結びつけて覚えると忘れにくくなります．
　論理学者バートランド・ラッセルは，「仮定が間違っていればどんなことでも証明できる」という話をしたときに「それではあなたがローマ法王であることを証明してください」と言われて，直ちに次のように答えたと言われています．

　もし，2=1ならば異なる２人の人，ラッセルとローマ法王は同一の人に等しいから，ラッセルはローマ法王であることになる．

※　「pならばq」の真偽について，次に述べる４枚カード問題（Wason課題）でテストすると大学生でも正答率は１割～２割になると言われており，認知心理学において文脈依存性，領域固有性の問題として興味ある話題となっています．
【例題１】　４枚カード問題（Wason, 1972）
　ある工場では表に文字，裏に数字を印刷したラベルを，
「片面が母音ならば，もう1つの面は偶数」
という規則に従って製造している．次のように４枚のカードの１つの面が見えているとき，製造規則が守られているかどうかを調べるためには，最低限どのカードを裏返さなけらばならないか．
（解答）
■１　この問題では，個別に真偽を判断することが求められています．
（表が母音ならば裏は偶数）という規則に対して違反となるのは，（表が母音かつ裏が奇数）の場合．
  • （母音）かつ（奇数）の場合に違反となる可能性がある.
  • （子音）のもう１面がどちらでも違反とならない.
  • （偶数）のもう１面がどちらでも違反とならない.
  • （母音）かつ（奇数）の場合に違反となる可能性がある.
（別解）
　対偶で考えるときは
母音ならば偶数 …（元の規則）
があるとき，これと同時に
奇数ならば子音 …（規則の対偶）
も定められたことになるから，奇数の裏も調べる必要があると考える．

⇒この問題では，Ｅと７の２枚を答えた場合に正解となる．

　よくある間違い：
「Ｅと４の２枚」と答える…規則に合うものが選ばれやすい
　この傾向は，人間心理の「確証のバイアス」と呼ばれ，偶数の裏が母音なら元の規則が守られている可能性が高まると考える傾向があるとされている．実際には，反証の推論（母音かつ奇数の検出）が必要となる．
通常，Wasonの選択課題とよばれている問題は以上の通りであるが，この問題を解く上では「表に文字，裏に数字が印刷されている」という部分を疑うと問題の意味が分からなくなる．すなわち，文字－文字，文字－白紙，数字－数字，白紙－数字の可能性は考える必要がないとする．この部分を疑うと，すべてのカードを裏返さないと確認はできない．
【例題２】　飲酒問題（Griggs & Cox,1982）
　「アルコールを飲んでいるなら２０歳以上でなければならない」という法律がある．次のように年齢と飲み物だけが分かっている４人の人がいるとき，この法律が守られているかどうかを確かめるためには，誰を調べればよいか．
（解答）
違反となるのは，（アルコールかつ２０歳未満）の場合．
  • （ビール）→年齢によっては違反となる可能性がある.
  • （コーラ）→何歳でも違反とならない.
  • （２５歳）→飲み物がどちらでも違反とならない.
  • （１７歳）→飲み物によっては違反となる可能性がある.
⇒この問題では，ビールと17歳を答えた場合に正解となる．

論理的な構造は例題１と同じであるが，この問題を間違う人は少ないと言われている．分かりやすい理由として
日常経験で経験する場面が多く（領域固有性），禁止の型がはっきりしてることが考えられる．
【問題１】「未成年者は喫煙してはならない」という法律が守られているかどうかを確かめるために，年齢と行動のうちの一方だけがわかっている次の４人のうちで，もう一方を調べなければならないのは誰か．なお，ガムを噛むことと喫煙することは，同時にはできないものとします．
（該当するものにはすべてチェックを付け，該当しないものはチェックをしない）
ガムをかんでいる
１５歳
２１歳
喫煙している
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【問題２】日本史上には「平家でなければよい待遇を受けられない」と噂された時代があった．この噂が正しいかどうかを確かめるために，出身と待遇のうちの一方だけがわかっている次の４人のうちで，もう一方を調べなければならないのは誰か．
（該当するものにはすべてチェックを付け，該当しないものはチェックをしない）
待遇がよい者
待遇が悪い者
平家の出身者
源氏の出身者
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【問題３】「緑色の目をした猫は魚を食べない」という学説があるとき，この学説が正しいかどうかを確かめるために，目の色と食べ物のうちの一方だけがわかっている次の４匹のうちで，もう一方を調べなければならないのはどれか．
（架空の学説）
（該当するものにはすべてチェックを付け，該当しないものはチェックをしない）
肉を食べている猫
魚を食べている猫
目が茶色の猫
目が緑色の猫
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【問題４】トマトは「水をやらないと甘くなる」という学説があるとき，この学説が正しいかどうかを確かめるために，水やりの有無と甘さのうちの一方だけがわかっている次の４個のトマトのうちで，調査しなければならないのはどれか．
（該当するものにはすべてチェックを付け，該当しないものはチェックをしない）
甘くないトマト
甘いトマト
水をやらなかったトマト
水をやったトマト
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【例題３】
　次の各命題の真偽を答えてください．
(1)1+1=1→2+3=1
(2)1+2=3→1+3=4
(3)1>2→4>1
(4)1+2=3→2+3=1
（解答）
　仮定と結論の真偽に応じて，（仮定）→（結論）の真偽についての次の定義に当てはめます．
　仮定や結論の部分が自分の信念と一致するかどうかで左右されてはいけません．特に例３で述べたバートランド・ラッセルの逸話において「仮定が偽ならば結論が何であっても命題は真」の話も参考にしてください．
p q p　→　q
真 真 真…Ａ
真 偽 偽…Ｂ
偽 真 真…Ｃ
偽 偽 真…Ｄ

(1)は偽→偽（Ｄのケース）だから真です．
(2)は真→真（Ａのケース）だから真です．
(3)は偽→真（Ｃのケース）だから真です．
(4)は真→偽（Ｂのケース）だから偽です．
【問題５】次の各命題が正しい（真）ときはチェックを付け，正しくない（偽）のときはチェックなしとしてください．
(1) もしも，犬が植物ならば，猫は動物である．
(2) もしも，地球のまわりを太陽が回っているのならば，月のまわりを地球が回っている．
(3) もしも，パリがフランスにあるのならば，ロンドンはドイツにある．
(4) もしも，パリがフランスにあるのならば，ロンドンはイギリスにある．
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【問題６】次の各命題が正しい（真）ときはチェックを付け，正しくない（偽）のときはチェックなしとしてください．
(1) 今日が１３日の金曜日なら，明日は１４日の土曜日である．
(2) ある年の４月１日が日曜日なら，７月１日も日曜日である．
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【問題７】次の各命題が正しい（真）ときはチェックを付け，正しくない（偽）のときはチェックなしとしてください．
(1) 1×2×3×...×99が156けたの整数ならば1×2×3×...×99×100は158けたの整数になる．
※この文章を読んでいる今のあなたの立場から見て，次の文章の真偽を答えてください．
(2)
※この文章を読んでいる今のあなたの立場から見て，次の文章の真偽を答えてください．
(3)
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