高校数学・命題,条件,証明

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，共通部分と和集合のバックアップおよびマイナーチェンジありのカバー版です． ♫♣ 元の教材が通信トラブルで読めないときや，元の教材がなくなってしまったとき（高齢者がいつまでも生きている訳ではない）などに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • 確率 • ２次関数• ２次不等式 • 集合・命題・条件・証明 【単元内の目次】 • 集合(1) • 集合(2) • 部分集合,包含関係 • 和集合,共通部分 • 補集合 • 和集合,共通部分,補集合（練習問題） • ド・モルガンの法則• 集合の表し方（オイラー図） • 集合の要素を用いた証明 • 必要条件と十分条件（等式の問題）• 必要条件と十分条件（不等式の問題）• 反例 • 集合，必要条件，十分条件（共通,センター問題）• 集合と条件（センター問題）• 必要条件と十分条件（入試問題）• pならばqの真偽 • 逆・裏・対偶　• 対偶証明と背理法• 背理法の入試問題 ※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，注意してください．

== 《共通部分と和集合》 == 《解説》 ■　２つの集合A, Bの両方に入っている要素全体の集合を，集合A, Bの共通部分といいA∩Bで表します． 　≪例≫ 　　下の図１のようにA={2, 4, 6, 8, 10}, B={3, 6, 9}のとき 　　A∩B={6}です． ■　２つの集合A, Bの少なくとも一方に入っている要素全体の集合を，集合A, Bの和集合といいA∪Bで表します． 　≪例≫ 　　下の図２のようにA={2, 4, 6, 8, 10}, B={3, 6, 9}のとき 　　A∪B={2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}です． - 図1 - - 図2 - 記号の覚え方   （注意１） 　「共通部分」「和集合」は，論理的な「かつ」「または」に対応しています． A∩Bの要素は，「Aの要素かつBの要素」です．A∪Bの要素は，「Aの要素またはBの要素」です． （注意２） 　日常用語の「または」と数学用語の「または」とは，必ずしも同じではありません． 数学用語：AまたはBは，A, Bの両方に入っているものも含む．（上のA∪Bに６も入っている点に注意） 日常用語：AまたはBは，AかBのどちらか一方（両方は含まない．）のことが多い． ≪例≫ 　喫茶店のモーニングサービスで「朝９時までにトーストを注文すれば，コーヒー又は紅茶がおまけに付く」場合，数学的な「または」の使い方なら，コーヒーも紅茶ももらえるが，店ではどちらか一方だけもらえる． 　日常用語で多く用いられるAまたはB

【問題１】 (1) 　（集合の要素を答える問題） 　A={1, 3, 5, 7, 9}, B={2, 3, 5 , 7}のとき 　A∩Bの要素を次のうちから選びなさい．（正しいものにチェックを付けてから，[採点する]を押す．次の問題も同様） 　１，２，３，４，５，６，７，８，９ A∩B={3, 5, 7} →解説を隠す← 　A∪Bの要素を次のうちから選びなさい． 　１，２，３，４，５，６，７，８，９  A∪B={1, 2, 3, 5, 7, 9} →解説を隠す←
(2) 　右の図で表わされる集合A, B, Cについて 次の集合の要素を示しなさい． ア　A∩B∩C 　a,　b,　c,　d, e,　f,　g,　h  A∩B∩C={d} →解説を隠す← イ　A∩(B∪C) 　a,　b,　c,　d, 　e,　f,　g,　h  A∩(B∪C)={c, d, e} →解説を隠す← ウ　(A∩B)∪C 　a,　b,　c,　d, 　e,　f,　g,　h  　 (A∩B)∪C={c, d, e, g, h} ※A∩B={c, d}とC={d, e, g, h}の和集合を考えます →解説を隠す←

【問題２】　（選択肢の中から正しいものをクリック） (1) A={ x | xは12の正の約数}, B={ x | xは18の正の約数}とするとき，A∩Bを集合の要素を書き並べる方法で示してください． 解説 やり直す {1, 2, 3, 6} {1, 2, 3, 4, 6} {1, 2, 3, 6, 12} {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} A={1, 2, 3, 4, 6, 12}, B={1, 2, 3, 6, 9, 18}だから，これらの共通部分は{1, 2, 3, 6} …（答） （別解）Ａ，Ｂの公約数は６の約数と考えてもよい →閉じる←

(2) A={ x | 0<x<5}, B={ x | 2<x<7}とするとき，A∪Bを要素の条件を述べる方法で示してください． 解説 やり直す {x | 0<x<2} {x | 2<x<5} {x | 5<x<7} {x | 0<x<7} 少なくとも一方に含まれるものをも答えます．（両方に入るものも可） {x | 0<x<7}} …（答） →閉じる←

(3) 1から100までの整数全体の集合を全体集合Uとし，その中で2で割り切れる数の集合をA，5で割り切れる数の集合をBとするとき，集合A∪Bの要素の個数を求めてください． 解説 やり直す 50 60 70 80 集合Aの要素の数をn(A)で表すと A={2,4,6,...,100}だから n(A)=50 B={5,10,15,...,100}だから n(B)=20 A∩B={10,20,...,100}だから n(A∩B)=10 n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=50+20−10=60 …（答） →閉じる←

(4) 次のうちで，つねに成り立つものはどれか． 解説 やり直す 1) 右図で黄色の部分があるとき，は成り立たない 2) はつねに成り立つ 3) 右図で水色の部分があるとき，は成り立たない 4) 右図で黄色や水色の部分があるとき，は成り立たない 以上から，つねに成り立つのは …（答） →閉じる←

(5) 整数全体の集合をZ={ ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}とし A={ x | x=2n−1, n∈Z} B={ x | x=2n+1, n∈Z} とするとき，次のうちで正しいのはどれか． 解説 やり直す A={... , −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, ...} B={... , −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, ...} だから，これらは等しい…（答） →閉じる←

(6) 自然数全体の集合をN={ 1, 2, 3, ...}とし A={ x | x=2n+1, n∈N} B={ x | x=3n+1, n∈N} とするとき，次のうちでA∩Bに等しい集合はどれか． 解説 やり直す { x | x=5n+1, n∈N} { x | x=5n+2, n∈N} { x | x=6n+1, n∈N} { x | x=6n+2, n∈N} Ａは２で割って１余る数の集合A={3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} Ｂは３で割って１余る数の集合B={4,7, 10,13, 16, ...} だから，両方に入るのは６で割って１余る数 A∩B={7, 13, ...}={ x | x=6n+1, n∈N}…（答） →閉じる←