高校数学・命題,条件,証明

集合の要素を用いた証明

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，集合の要素を用いた証明のバックアップおよびマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルで読めないときや，元の教材がなくなってしまったとき（高齢者がいつまでも生きている訳ではない）などに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • 確率 • ２次関数• ２次不等式 • 集合・命題・条件・証明

【単元内の目次】 • 集合(1) • 集合(2) • 部分集合,包含関係 • 和集合,共通部分 • 補集合 • 和集合,共通部分,補集合（練習問題） • ド・モルガンの法則• 集合の表し方（オイラー図） • 集合の要素を用いた証明 • 必要条件と十分条件（等式の問題）• 必要条件と十分条件（不等式の問題）• 反例 • 集合，必要条件，十分条件（共通,センター問題）• 集合と条件（センター問題）• 必要条件と十分条件（入試問題）• pならばqの真偽 • 逆・裏・対偶　• 対偶証明と背理法• 背理法の入試問題

※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，注意してください．

== 集合の要素を用いた証明 ==

【要点】
　集合を表す方法には「外延的記法で表す方法」と「内包的記法で表す方法」がある．
　外延的記法とは

$A=\{1,\hspace{5}2,\hspace{5}3,...\}$

のように要素を書き並べる方法のことをいう．
　内包的記法とは

$A=\{x\hspace{5}\mid\hspace{5}p(x)\}$

のように条件 $p(x)$ を満たす変数 $x$ の集まりとして書く方法のことをいう．

　条件を幾つも使って

$A\cup B=\{x\hspace{5}\mid\hspace{5}x\in A\hspace{5}or\hspace{5}x\in B\}$
$A\cap B=\{x\hspace{5}\mid\hspace{5}x\in A\hspace{5}and\hspace{5}x\in B\}$

のように書くことができるが，

$A\cap B=\{x\hspace{5}\mid\hspace{5}x\in A\hspace{5},\hspace{5}x\in B\}$

のようにカンマで区切って並べた場合は，and （かつ）の省略とする．or （または）は省略できない．

　 $x$ が集合 $A$ の要素であることは

$x\in A$

で表し， $x$ が集合 $A$ の要素でないことは

$x\notin A$

で表す．

　要素が全くない集合{　}を空集合という．
　空集合を表す記号として，スカンジナビア語系を語源とする零を表す文字が用いられるが，特殊な数学記号なので，微妙に見かけが異なることがある．
• $\phi$ （ギリシャ語のファイで代用する場合）
• Ø，ø：ノルウェー語（オースラッシュ，読み方はウー）
• 0̸　（０を加工した文字）
• ∅（空集合を表す国際標準規格 ISO 8859-1 Latin文字）
• $\empty$ （空集合を表すTeX記号）
･･･この教材では，上記のいずれかを用いて空集合を表すものとする．ただし，読むときはファイではなく空集合またはempty setとする．

→右上に続く

※以下の問題において，正しいと思う選択肢をクリックすれば採点結果と解説が表示されます．クリックしなければ，解説は表示されません．

【問題１】　Nは自然数全体の集合，Zは整数全体の集合とするとき，各々正しいものを下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック）

(1)
$A=\{2n\hspace{5}\mid \hspace{5}n\in Z \},\hspace{5}B=\{2n+ 1\hspace{5}\mid \hspace{5}n\in Z \}$ とするとき

解説やり直す

$3\in A$ $4\notin A$ $3\notin A$ $4\in B$

$A=\{...,-4,-2,0,2,4,6,...\}$

すなわち $A$ は偶数全体の集合

$B=\{...,-3,-1,1,3,5,...\}$

すなわち $B$ は奇数全体の集合

だから
$3\notin A$ …（答）

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(2)
$A=\{2n+ 1\hspace{3}\mid \hspace{3}n\in Z \},\hspace{3}B=\{2n-1\hspace{3}\mid \hspace{3}n\in Z \}$ とするとき

解説やり直す

$A=B$

$A\subset B$ であるが $B\subset A$ ではない

$B\subset A$ であるが $A\subset B$ ではない

$A\cap B=\emptyset$

$n=...,-2,-1,0,1,2,3,...$ とすると

$A=\{...,-1,1,3,5,7,...\}$ は奇数全体の集合
$B=\{...,-3,-1,1,3,5,...\}$ も奇数全体の集合

だから
$A=B$ …（答）
（※ｎ＝0のときの値が１つずれているだけで全体としては同じものを表している）

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(3)
$A=\{2n+ 1\hspace{3}\mid \hspace{3}n\in N \},\hspace{3}B=\{2n-1\hspace{3}\mid \hspace{3}n\in N \}$ とするとき

解説やり直す

$A=B$

$A\subset B$ であるが $B\subset A$ ではない

$B\subset A$ であるが $A\subset B$ ではない

$A\cap B=\emptyset$

$n=1,2,3,...$ とすると

$A=\{3,5,7,...\}$ は３以上の奇数の集合
$B=\{1,3,5,...\}$ は１以上の奇数の集合

だから
$A\subset B$ …（答）

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【要点】
「 $x\in A$ ならば $x\in B$ 」が成り立つとき $A\subset B$ と書く．

すなわち，集合 $A$ の任意の要素が必ず $B$ の要素になるとき， $A\subset B$ と書く．

そこで， $A\subset B$ を証明するには，集合 $A$ の任意の要素 $x$ を使って，その要素が必ず $B$ の要素になることを示せばよい．
（※集合の包含関係を証明するために，要素を使う．）

$A\subset B$ かつ $B\subset A$ のとき $A=B$ と書く．

【例題１】
$A=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3} x=m+ 2n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
$B=\{y\hspace{3}\mid \hspace{3}y=3m+ 4n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき $A=B$ となることを証明してください．

（証明）
$x\in A$ のとき
$x=m+ 2n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z$ となる整数 $m,n$ が存在する．
このとき
$x=3(-m+ 2n)+ 4(m-n)$ …(*1)
と書けるから
$-m+ 2n=k$
$m-n=l$
$x=3k + 4l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z$
と書ける．すなわち $x\in B$
したがって， $A\subset B$

逆に， $x\in B$ のとき
$x=3m+ 4n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z$ となる整数 $m,n$ が存在する．
このとき
$x=m+ 2(m+ 2n)$ …(*2)
と書けるから
$m=k$
$m+ 2n=l$
$x=k + 2l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z$
と書ける．すなわち $x\in A$
したがって， $B\subset A$

結局 $A=B$ が示された．

必ずしも上記の変形(*1)でなくても $x=3(\hspace{5})+ 4(\hspace{5})$ の形になっていればよい．
たとえば， $x=3(3m+ 2n)+ 4(-2m-n)$ でもよい．

同様にして(*2)でなくても $x=(m+ 2n)+ 2(m+ n)$ でもよい．

【問題２】　Nは自然数全体の集合，Zは整数全体の集合とするとき，各々正しいものを下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック）

(1)
$A=\{x\hspace{3}\mid \hspace{3}x=2m-3n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
$B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=4m-5n\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき

解説やり直す

$A=B$

$A\subset B$ であるが $B\subset A$ ではない

$B\subset A$ であるが $A\subset B$ ではない

$A\cap B=\emptyset$

$x\in A$ のとき
$x=2m-3n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z$ となる整数 $m,n$ が存在する．
このとき
$x=4(3m+ 2n)-5(2m+ n)$
と書けるから
$3m+ 2n=k$
$2m+ n=l$
$x=4k-5l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z$
と書ける．すなわち $x\in B$
したがって， $A\subset B$

逆に， $x\in B$ のとき
$x=4m-5n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z$ となる整数 $m,n$ が存在する．
このとき
$x=2(2m+ n)-3(-n)$
と書けるから
$2m+ n=k$
$-n=l$
$x=2k-3l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z$
と書ける．すなわち $x\in A$
したがって， $B\subset A$

結局 $A=B$ が示された．

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→右上に続く

(2)
$A=\{x\hspace{3}\mid \hspace{3}x=m+ 2n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
$B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=2m+ 4n\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき

解説やり直す

$A=B$

$A\subset B$ であるが $B\subset A$ ではない

$B\subset A$ であるが $A\subset B$ ではない

$A\cap B=\emptyset$

$x\in B$ のとき
$x=2m+ 4n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z$ となる整数 $m,n$ が存在する．
このとき
$x=(2m)+ 2(2n)$
と書けるから
$2m=k$
$2n=l$
$x=k+ 2l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z$
と書ける．すなわち $x\in A$
したがって， $B\subset A$

逆に， $x\in A$ のとき
$B$ は偶数の集合だから． $x\in B$ は証明できそうもない．このような場合は反例を１つ示せばよい．
$x=1+ 2\times 1=3\notin B$ だから
$A\subset B$ は成り立たない

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(3)
$A=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=2m,\hspace{3}m\in N\}$
$B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=3n,\hspace{3}n\in N\}$
とするとき

解説やり直す

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=5k,\hspace{3}k\in N\}$

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=6k,\hspace{3}k\in N\}$

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=2m+ 3n,\hspace{3}m\in N,\hspace{3}n\in N\}$

$A\cap B=\emptyset$

$A=\{2,4,6,8,10,12,...\}$
$B=\{3,6,9,12,15,18,...\}$
合だから
$A\cap B=\{6,12,18,...\}$
すなわち
$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=6k,\hspace{3}k\in N\}$

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(4)
$A=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=2m+ 1,\hspace{3}m\in Z\}$
$B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=3n+ 2,\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき

解説やり直す

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=5k+ 1,\hspace{3}k\in Z\}$

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=5k+ 2,\hspace{3}k\in Z\}$

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=6k+ 1,\hspace{3}k\in Z\}$

$A\cap B=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=6k+ 5,\hspace{3}k\in Z\}$

$A=\{..,\underline{-1},1,3,\underline{5},7,9,\underline{11},13,15,\underline{17},19,..\}$
$B=\{..,\underline{-1},2,\underline{5},8,\underline{11},14,\underline{17},20,...\}$
合だから
$A\cap B=\{..,-1,5,11,17,...\}=\{x\mid\hspace{3}x=6n+ 5,\hspace{3}n\in Z\}$

（きっちり解くには，不定方程式の解き方参照）

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【問題３】　Nは自然数全体の集合，Zは整数全体の集合とするとき，各々正しいものを下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック）

(1)
$A=\{n\hspace{3}\mid\hspace{3}n=2m,\hspace{3}m\in Z\}$
$B=\{n\hspace{3}\mid\hspace{3}n=2m+ 1,\hspace{3}m\in Z\}$
とするとき

解説やり直す

$x\in A,\hspace{3}y\in B$ ならば $x+ y\in A$

$x\in A,\hspace{3}y\in B$ ならば $xy\in A$

$x\in A,\hspace{3}y\in B$ ならば $x-y\in A$

$x\in A,\hspace{3}y\in B$ ならば $\frac{x}{y}\in A$

$x\in A,\hspace{3}y\in B$ ならば
$x=2m,\hspace{3}y=2n+ 1$ とおける
このとき
$x+ y=2m+ 2n+ 1=2(m+ n)+ 1\in B$
$xy=2m(2n+ 1)=2(2mn+ m)\in A$ …（答）
$x-y=2m-(2n+ 1)=2(m-n)+ 1\in B$
$\frac{x}{y}$ は整数とは限らない

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(2)
$A=\{3n+ 1\hspace{3}\mid\hspace{3}n\in Z\}$
$B=\{3n+ 2\hspace{3}\mid\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき

解説やり直す

$x\in A$ ならば $x^2\in B$

$x\in B$ ならば $x^2\in A$

$x\in B$ ならば $x^2\in B$

$x\in B$ ならば $x^3\in A$

$x\in A$ ならば
$x=3n+ 1$
$x^2=(3n+ 1)^2=3(3n^2+ 2n)+ 1\in A$
$x\in B$ ならば
$x=3n+ 2$
$x^2=(3n+ 2)^2=3(3n^2+ 4n+ 1)+ 1\in A$
$x^3=(3n+ 2)^3=3(9n^3+ 18n^2 + 12n+ 2)+ 2\in B$
したがって， $x\in B$ ならば $x^2\in A$ …（答）

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(3)
$A=\{x\hspace{3}\mid\hspace{3}x=k+ \sqrt{2}l,\hspace{3}k\in Z,\hspace{3}l\in Z\}$
$B=\{y\hspace{3}\mid\hspace{3}y=m+ \sqrt{3}n,\hspace{3}m\in Z,\hspace{3}n\in Z\}$
とするとき

解説やり直す