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♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，部分集合,包含関係のバックアップおよびマイナーチェンジありのカバー版です． ♫♣ 元の教材が通信トラブルで読めないときや，元の教材がなくなってしまったとき（高齢者がいつまでも生きている訳ではない）などに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．
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■解説
【 要点 】
■ 部分集合を表わす記号A⊂B ○ 右図アのように，集合A のどの要素も集合B の要素になっているとき（x∈Aならばx∈Bのとき ），AはBの部分集合であるといい，A⊂Bで表わす． ※ ∈の記号は要素と集合の関係に使い， ⊂の記号は集合と集合の関係に使う． ○ 右図イのときは，B⊂Aとなる． ※B⊃AはA⊂Bと同じ，A⊃BはB⊂Aと同じ． （小さい方）⊂（大きい方） の形になっていればよい．
■ 集合が等しいことを表わす記号A=B
○ 右図ウのように，２つの集合A , Bの要素が完全に一致するとき，A=Bと書く．
A⊂Bの記号について，下の注意書参照例 A={1 , 2 , 3}，B={1 , 2 , 3}のときA=B ○ A⊂BのときにBの要素のうちAの要素でないものが実際にあるとき，AはBの真部分集合であるという． 例 A={1 , 2}はB={1 , 2 , 3}の真部分集合 ○ 数の大小関係では3<xかつx<3などということはないが，x≦3かつ3≦xのときx=3になるのと同様に，集合ではB⊂AかつA⊂BのときA=Bが成り立つ． ○ B⊂AかつA⊂Bが言えれば，A=Bとしてよい
集合A,Bの要素が簡単に比較できないときにも，B⊂AかつA⊂Bが言えれば，A=Bとしてよい．
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■ 集合の包含関係とは
○ 上図アイウのようにA⊂B，B⊂A，A=B のいずれかの関係が成り立つとき，２つの集合A, Bには包含関係があるという． これに対して，上図エオのように上記いずれの関係も成り立たないとき，２つの集合A , Bには包含関係がないという． 包含関係がないときには，AだけBだけに入るものがそれぞれ存在する． 例 Aが犬の集合，Bが猫の集合とすると，図オのようになって包含関係はない． 例 A={1 , 2 ,3}, B={1 , 2 ,4}のとき |
| ※ （注意） 今の高校数学では，AがBの真部分集合の場合と，A=B の場合を含めて，部分集合を A⊂B という記号で表わす． （もし不等号を連想するのであれば＜ではなく，≦に対応するので要注意）
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| ※参考程度 大学の教科書や英語で書かれた書物では，次のような記号が使われることがある．
AはBの真部分集合 A⊂B, A⊊B
１つの書物の中では，統一的に用いられているはずなので，予断を持たずに幾つか見ればどの立場で書かれているか分かると思う．「どれが正しいか？」と考えても無駄です．それぞれのコミュニティの中での約束事のようなものです．
AはBの部分集合 A⊆B BはAの真部分集合 A⊃B, A⊋B BはAの部分集合 A⊇B |
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■部分集合，集合の包含関係 次の集合A, Bの包含関係を調べ，?の箇所に入る式を選択肢の中から選んでクリックしてください．包含関係がないときは，［なし］を選んでください． （クリックすれば採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません） 問題1 |
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問題2 |
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(3) A={ 2 , 4 , 6 , 8 ,……}，B={ 2 , 6 , 12 , ……} だから A⊃B
（ていねいに証明すると） ア） n が偶数ならば n(n+1) は偶数 イ） n が奇数ならば n+1 が偶数だから n(n+1) は偶数 以上により A⊃B しかし，4∈A , 4∉B から A⊂B ではない． |
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