高校数学・命題,条件,証明

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，必要条件と十分条件（等式の問題）のバックアップおよびマイナーチェンジありのカバー版です． ♫♣ 元の教材が通信トラブルで読めないときや，元の教材がなくなってしまったとき（高齢者がいつまでも生きている訳ではない）などに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • 確率 • ２次関数• ２次不等式 • 集合・命題・条件・証明 【単元内の目次】 • 集合(1) • 集合(2) • 部分集合,包含関係 • 和集合,共通部分 • 補集合 • 和集合,共通部分,補集合（練習問題） • ド・モルガンの法則• 集合の表し方（オイラー図） • 集合の要素を用いた証明 • 必要条件と十分条件（等式の問題）• 必要条件と十分条件（不等式の問題）• 反例 • 集合，必要条件，十分条件（共通,センター問題）• 集合と条件（センター問題）• 必要条件と十分条件（入試問題）• pならばqの真偽 • 逆・裏・対偶　• 対偶証明と背理法• 背理法の入試問題 ※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，注意してください．

== 必要条件と十分条件（等式の問題） == 《解説》 ■　数学で用いられる「必要条件」「十分条件」という用語は，日常生活で用いられる『必要』『十分』とは異なるものです． 　日常生活では，『昼食を食べるには，500円は必要だ』『2000円あれば十分だ』というように，分量が足りる，足りないという意味に使うことが多いが，数学では，これとは全く違う使い方をする． 　数学上の必要条件，十分条件は，ｐならばｑ（記号では，ｐ→ｑ）という関係が成り立つかどうかで決まります． ｐならばｑ （記号で表わせば，ｐ→ｑ） が成り立つとき， 「ｐはｑであるための十分条件」， 「ｑはｐであるための必要条件」 といいます． ■　ｐ→ｑ　と　ｐ←ｑ　の両方とも成り立つとき， 「ｐはｑであるための必要十分条件」 「ｑはｐであるための必要十分条件」 といいます． 十分必要条件とはいいません． ■　ｐ→ｑ　と　ｐ←ｑ　のどちらも成り立たないとき 　ｐはｑであるための必要条件でも十分条件でもありません．

■　２つの命題（１つの判断を述べた文章や式で，正しいか正しくないかが定まるものを命題といいます．）があるときに，一方が他方の必要条件あるいは十分条件といういい方をし，ある命題１つについてそれ自体で必要条件とか十分条件とかということはいえません． ［例１］ 　シェパード→犬，犬→動物　です． 　そこで，犬であることは，シェパードであるための必要条件です． 　また，犬であることは，動物であるための十分条件です． 　しかし，犬だけで，必要とか十分とかの議論はしません． ［例２］ 　ｘ＞１→ｘ＞０，ｘ＞２→ｘ＞１　です． 　そこで，ｘ＞１はｘ＞０であるための十分条件です．ｘ＞０はｘ＞１であるための必要条件です． 　また，ｘ＞２はｘ＞１であるための十分条件です．ｘ＞１はｘ＞２であるための必要条件です．

■　２つの命題が与えられたとき，一方が他方の何条件であるかを判断するには，矢印を２つ作ってみて，どちら向きの矢印が成立するかで考えます．正しい推論で一方から他方が得られるとき，その矢印は「成立」すると考えます． 　 　図示できるときは，中に入っている方が十分条件です．

［例３］ 　「ｍａ＝ｍｂ　は　ａ＝ｂ　であるための何条件ですか」という問題があるとき， という図を作り，どの矢印が成り立つかを調べます．（とにかく，矢印を２つ作ることが大切です．） ○　　ｍａ＝ｍｂ　→　ｍ（ａ－ｂ）＝０　→　ｍ＝０またはａ－ｂ＝０　［ａ＝ｂに行くとは限らず，ｍ＝０に行くこともある］　 ○　　ａ＝ｂ　→　ｍａ＝ｍｂ　（両辺に同じ数を掛けても等しい）， だから， 以上により，成り立っている矢印を見ると，ｍａ＝ｍｂは，矢印の先なので，ａ＝ｂであるための必要条件． ※　上の説明において，「ｍａ＝ｍｂ　→　ａ－ｂ＝０」が成り立たないことは，１つの例　ｍ＝０，ａ＝1，ｂ＝２　を示すだけで証明できます．このように，ある命題（主張）ｐ→ｑが成り立たないことを示す例は「反例」と呼ばれます． ○　ｐ→ｑ　の反例としては，「ｐが成り立ち」かつ「ｑが成り立たない」ものでなければなりません． ○　ｐ→ｑ　は　（すべての）「ｐについてｑが成り立つ」の省略なので，「１つでもｐであってかつｑでないもの」があれば，ｐ→ｑが間違っていることになります．しかし，「あるｐについてｑが成り立つ」ことを示しても他のｐについてｑが成り立つことは示せていないから，ｐ→ｑが成立することの証明にはなりません． 　このように 例を幾つ示しても成り立つことの証明にはなりません． 反例を１つ示せば成り立たないことの証明になります．

《問題》　次の（　）に入る語句を右の選択肢の中から１つ選びなさい．クリックすれば採点結果が出ます．解説を読んでもよい．（問題文中の文字は，すべて実数とします．） ** このページでは，等式の問題を扱っています ** 《1》 x=1はx2+3x−4=0であるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ x=1をx2+3x−4に代入すると, 12+3×1−4=0が成り立つから 　　 は成り立つ 〇← 　「少し考えて，証明できない『感じがする』から，成り立たないようだという『予想』を立てて」，反例を考える のとき，が成り立つが，は成り立たないから 　　 は成り立たない 〇⇄ 以上により， 〇答 x=1は，成り立つ側の矢印（右向き矢印）の根もとねもとにあるから，x=1（であること）は，x2+3x−4=0であるための「十分条件」 →解説を隠す←

《2》 (a=1かつb=1)はab=1であるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ (a=1かつb=1)をabに代入すると，1×1=1だから 　　(a=1かつb=1) は成り立つ 〇← 　「少し考えて，証明できない『感じがする』から，成り立たないようだという『予想』を立てて」，反例を考える のとき，であるが，(かつ)ではないから 　　(a=1かつb=1) は成り立たない （反例は，他にもたくさんある：など） 〇⇄ 以上から，(a=1かつb=1) 〇答 (a=1かつb=1)は，成り立つ側の矢印（右向き）の根もとねもとにあるから，(a=1かつb=1)はab=1であるための「十分条件」 →解説を隠す←

《3》 a+b=2はa=b=1であるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ 　「少し考えて，証明できない『感じがする』から，成り立たないようだという『予想』を立てて」，反例を考える a=2, b=0のとき，a+b=2であるが，a=b=1ではないから 　　a+b=2a=b=1 は成り立たない （反例は，他にもたくさんある：など） 〇← a=b=1をa+bに代入すると，1+1=2だから 　　a=b=1a+b=2 は成り立つ 同じことであるが，が成り立つ 〇⇄ 以上から，a+b=2a=b=1 〇答 a+b=2は，成り立つ側の矢印（左向き）の矢先にあるから，a=b=1であるための「必要条件」 →解説を隠す←

《4》 a=b=0は(a+b=0かつab=0)であるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ 　a=b=0をa+bに代入すると，0+0=0だから 　　a=b=0a+b=0 は成り立つ 　また，a=b=0をabに代入すると，0×0=0だから 　　a=b=0ab=0 も成り立つ 　よって，a=b=0(ab=0かつab=0) が成り立つ 〇← 連立方程式 を解く．（例えば，b=−aとしてbを消去すると，−a2=0よりa=0．b=−a=0．よって，a=b=0が解となる） 〇⇄ 以上から，a=b=0(a+b=0かつab=0) 〇答 a=b=0は，成り立つ側の矢印（両向き）の根もとねもとにも矢先にもあるから，(a+b=0かつab=0)であるための「必要十分条件」 →解説を隠す←

《5》 a=b=0はa2+b2=0であるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ 　a=b=0をa2+b2に代入すると，02+02=0だから 　　a=b=0a2+b2=0 は成り立つ 〇← 実数aについてa2≧0がつねに成り立つ（等号成立はa=0のとき） 同様にして，実数bについてb2≧0がつねに成り立つ（等号成立はb=0のとき） よって，実数a, bについてa2+b2≧0がつねに成り立つ（等号成立はa=b=0のとき） したがって，a=b=0a2+b2=0 が成り立つ 〇⇄ 以上から，a=b=0a2+b2=0 〇答 a=b=0は，成り立つ側の矢印（両向き）の根もとねもとにも矢先にもあるから，a2+b2=0であるための「必要十分条件」 →解説を隠す←

《6》 a=bはa+c=b+cであるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ a=bのとき，任意の実数cを両辺に加えても，等式は成り立つから 　　a=ba+c=b+c は成り立つ 〇← a+c=b+cから任意の実数cを両辺から引いても，等式は成り立つから 　　a=ba+c=b+c は成り立つ 〇⇄ 以上から，a=ba+c=b+c 〇答 a=bは，成り立つ側の矢印（両向き）の根もとねもとにも矢先にもあるから，a+c=b+cであるための「必要十分条件」 →解説を隠す←

《7》 x2=9はx=3であるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ 　2次方程式 x2の解は，x=3またはx=−3となり，必ずしもx=3となる場合だけでなく，x=−3となる場合もある． したがって，x2=9ならばx=3とは言えない． 　　x2=9x=3 は成り立たない 〇← x=3をx2に代入すると，32=9だから 　　x2=9x=3 は成り立つ 〇⇄ 以上から，x2=9x=3 〇答 x2=9は，成り立つ側の矢印（左向き）の矢先にあるから，x=3であるための「必要条件」 →解説を隠す←

《8》 (x−y)(y−z)=0はx=y=zであるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ (x−y)(y−z)=0のとき(x−y=0またはy−z=0)となるので， 例えば，x=1, y=1, z=2のように，x−y=0が成り立つがy−z=0は成り立たない場合もある． したがって，x=y=zとは限らない． 　　(x−y)(y−z)=0x=y=z は成り立たない 〇← x=y=zならば(x−y=0かつy−z=0) だから(x−y)(y−z)=0が成り立つ 　　(x−y)(y−z)=0x=y=z は成り立つ 〇⇄ 以上から，(x−y)(y−z)=0x=y=z 〇答 (x−y)(y−z)=0は，成り立つ側の矢印（左向き）の矢先にあるから，x=y=zであるための「必要条件」 →解説を隠す←

《9》 　整数ｎについて nが３の倍数であることは，nが６の倍数であるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ nが３の倍数であるとき，n=3,6,9,12,･･･のように６の倍数になっているものと６の倍数になっていないものとがあるから， nが６の倍数であるとは言えない． だから 　　nが３の倍数nが６の倍数 は成り立たない 〇← nが６の倍数であるとき，n=6k=3(2k)（kは整数）と変形できるから，３の倍数であると言える． 　　nが３の倍数nが６の倍数 は成り立つ 〇⇄ 以上から，nが３の倍数nが６の倍数 〇答 nが３の倍数であることは，成り立つ側の矢印（左向き）の矢先にあるから，nが６の倍数であるための「必要条件」 →解説を隠す←

《10》 　整数ｎについて nが３の倍数であることは，nが２の倍数であるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ nが３の倍数であるとき，n=3,6,9,12,･･･のように２の倍数になっているものと２の倍数になっていないものとがあるから， nが２の倍数であるとは言えない． だから 　　nが３の倍数nが２の倍数 は成り立たない 〇← nが２の倍数であるとき，n=2,4,6,8,10,･･･のように３の倍数になっているものと３の倍数になっていないものとがあるから， nが３の倍数であるとは言えない． 　　nが３の倍数nが２の倍数 は成り立たない 〇⇄ 以上から，nが３の倍数nが２の倍数 〇答 左右どちら向きの矢印も成り立たないから，nが３の倍数であることは，nが２の倍数であるための「必要条件」でもなく「十分条件」でもない →解説を隠す←

《11》 　整数ｎについて n2が奇数であることは，nが奇数であるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ n2が奇数であるときに ア） nが偶数ならば，n2も偶数となって，n2が奇数になれない イ） nが奇数ならば，n2も奇数になる よって，n2が奇数ならば，nは奇数と言える したがって 　　n2が奇数nが奇数 は成り立つ 〇← nが奇数ならば，n=2k+1（kは整数）と書けるから，n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1も奇数になる したがって 　　n2が奇数nが奇数 は成り立つ 〇⇄ 以上から，n2が奇数nが奇数 〇答 左右両方の向きの矢印が成り立つから，n2が奇数であることは，nが奇数であるための「必要十分条件」 →解説を隠す←

《12》 　整数ｎについて n2が３の倍数であることは，nが３の倍数であるための（　　）条件

必要十分必要十分必要でも十分でもない 解説を読む 〇→ n2が３の倍数であるときに，nが３の倍数でなければ ア) n=3k+1(kは整数)のとき 　n2=(3k+1)2=3(3k2+2k)+1は，３の倍数にならない イ） n=3k+2（kは整数）のとき 　n2=(3k+2)2=3(3k2+4k+1)+1は，３の倍数にならない アイ)いずれの場合も不適当だから，nは３の倍数でなければならない したがって 　　n2が３の倍数nが３の倍数 が成り立つ 〇← nが３の倍数ならば，n=3k（kは整数）と書けるから，n2=9k2=3(3k2)も３の倍数になる したがって 　　n2が３の倍数nが３の倍数 は成り立つ 〇⇄ 以上から，n2が３の倍数nが３の倍数 〇答 左右両方の向きの矢印が成り立つから，n2が３の倍数であることは，nが３の倍数であるための「必要十分条件」 →解説を隠す←