補集合
♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，補集合のバックアップおよびマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルで読めないときや，元の教材がなくなってしまったとき（高齢者がいつまでも生きている訳ではない）などに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．
【単元の目次】
《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • 確率 • ２次関数• ２次不等式 • 集合・命題・条件・証明
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== 《補集合》 ==

《解説》
■　全体集合Uのうち，集合Aを取り除いた残りの部分をAの補集合といいAで表わします．
　補集合は，全体集合Uの決め方によって変わります．
≪例≫ 
　≪例≫を整数全体の集合とし，Aを奇数の集合とするとき，Aは偶数の集合です． 
　しかし，Uを実数（数直線上に書ける数）全体の集合とし，Aを奇数の集合とすると，Aは偶数とは限りません．
　≪例1≫
　全体集合U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={1,2,3,5,7}のとき，A={4,6,8,9}
　≪例2≫
　Aは実数全体の集合，A={x｜x>0}のとき，A={x | x≦0}


《問題1》
　右図に示される集合について，次の集合の要素を示しなさい．(正しいものにチェックを付けてから，採点ボタンを押す)

(1) 
A∩B
1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9

10

(2)
A∩B
1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9

10


(3)
A∪B
1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9

10

(4)
(A∩B)∪(A∩B)
1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9

10


(5)
A∩B∩C
1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8



《問題2》　次の各式で表される集合は右図のどの部分を表すか．下の選択肢から選んで答えなさい．（１つクリックする）
(1)
(2)



《問題3》　次の各式で表される集合は右図のどの部分を表すか．下の選択肢から選んで答えなさい．（１つクリックする）
(1)

(3)
(4)


≪空集合≫
〇　要素を１つも持たない集合を空集合（くうしゅうごう）といい，Øで表す．
Ø={　}…(1)
　任意の集合Aに対して，その要素の個数をn(A)で表す．この記号を使えば，
n(Ø)=0…(2)
〇　空集合は任意の集合Aの部分集合になっていると定める．
Ø⊂A…(3)
　集合Aに２つの要素a, bが属しているとき，Aの部分集合は
Ø, {a}, {b}, {a, b}
の４個ある．
　集合Aに３つの要素a, b, cが属しているとき，Aの部分集合は
Ø, {a}, {b}, {c},
{a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}
の８個ある．
　一般に，集合Aにｎ個の要素が属しているとき，Aの部分集合は2n個ある．
　例えば，２つの要素a, bの場合，次の表のように各々「入る」か「入らない」か，２通りずつあり，全体で2×2通り=4通りになる．

bありbなし
aあり{a,b}{a}
aなし{b}{ }
　一般に，ｎ個の要素があるときは，各々「入る」「入らない」で×2通りになるから，全体で2n通りになる．
(3)で述べたように，空集合は任意の集合の部分集合であると定めるから，
　例えば,全体集合がU={a, b}でA={a}のとき，={b}
　このとき，
Aの部分集合は，Øと{a}
の部分集合は，Øと{b}
　このように，空集合はAにもにも入っている．
Ø⊂
Ø⊂
したがって
=Ø

※おとぎ話による解説
　トリ軍団とケモノ軍団が争っているのに，コウモリ軍団Øは両方に入っている．
　ただし，コウモリ軍団には実体（要素）は１つもなく，実体がないから両方に入れる．
　全体集合Uが空集合でないとき，その１つの部分集合をAとすると，次の関係が成り立つ．
=U…(4)
=Ø…(5)
…(6)
－Ø=…(7)
=Ø…(8)

《問題4》　全体集合Uは空集合でないものとし，その部分集合をA, B, C，空集合をØとするとき，次の各式の正誤を述べてください．下の選択肢から選んで答えなさい．（１つクリックする）
(1)
Ø⊂Ø
(2)
どんな要素xでも，Ø

(3)
任意の集合Aについて
Ø=Ø=
(4)
任意の集合Aについて


(5)
Ø，Ø，Øのとき
必ずØになる．
(6)
Øならば必ずØになる．

(7)
ならばØになる．
(8)
Øならばである．

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