高校数学・命題,条件,証明

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，集合の表し方（オイラー図）のバックアップおよびマイナーチェンジありのカバー版です． ♫♣ 元の教材が通信トラブルで読めないときや，元の教材がなくなってしまったとき（高齢者がいつまでも生きている訳ではない）などに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • 確率 • ２次関数• ２次不等式 • 集合・命題・条件・証明 【単元内の目次】 • 集合(1) • 集合(2) • 部分集合,包含関係 • 和集合,共通部分 • 補集合 • 和集合,共通部分,補集合（練習問題） • ド・モルガンの法則• 集合の表し方（オイラー図） • 集合の要素を用いた証明 • 必要条件と十分条件（等式の問題）• 必要条件と十分条件（不等式の問題）• 反例 • 集合，必要条件，十分条件（共通,センター問題）• 集合と条件（センター問題）• 必要条件と十分条件（入試問題）• pならばqの真偽 • 逆・裏・対偶　• 対偶証明と背理法• 背理法の入試問題 ※このページは,PC用です．スマホでは画面の右半分が見えていない場合がありますので，注意してください．

== 集合の表し方（オイラー図） == [1]集合の表し方 ※以下の問題において，正しいと思う選択肢をクリックすれば採点結果と解説が表示されます．クリックしなければ，解説は表示されません． 【問題１】　次の集合を「要素を書き並べる方法」で表すとき，正しいものを下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） ただし，Nは自然数全体の集合，Zは整数全体の集合とする． (1) 解説 やり直す 「は整数全体の集合に含まれている」 すなわち「は整数」 は−3よりも大きくて（−3は含まない）3よりも小さい（3は含まない） …（答） →閉じる← (2) 解説 やり直す は整数 は0以上3以下 そのを用いて で定義されるは のとき のとき のとき のとき これらのを要素とする集合だから…（答） →閉じる← (3) はの約数 解説 やり直す は自然数（正の整数）での約数だから そのを用いて で定義される数は のとき のとき のとき のとき これらのを要素とする集合だから…（答） →閉じる← →右上に続く

【問題２】　次の集合を「要素と条件で表す方法」で書くとき，正しいものを下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） ただし，Nは自然数全体の集合，Zは整数全体の集合とする． (1) 解説 やり直す すなわちを２以上８以下の自然数とすると になって元の問題と合わない すなわちを１以上４以下の自然数とすると になって元の問題と合わない すなわちを１以上４以下の自然数とすると になり， そのを用いてと書ける数の集合は となって元の問題と合う…（答） すなわちを２以上８以下の自然数とすると になり そのを用いてと書ける数の集合は になって元の問題と合わない →閉じる← (2) 解説 やり直す すなわちを以上以下の自然数とすると だけになって元の問題と合わない すなわちを１以上３以下の自然数とすると になり， そのを用いてと書ける数の集合は となって元の問題と合う…（答） すなわちを1以上4以下の自然数とすると になり そのを用いてで定義されると書ける数の集合は になって元の問題と合わない 通常は集合で割るような記号は定義されていない →閉じる← (3) 解説 やり直す すなわちが自然数でも自然数になるのだからはの約数．元の問題と合う…（答） すなわちが自然数でも自然数になるのだからはの倍数． となって元の問題と合わない すなわちが自然数であるとき，そのを用いてで定義されるは となって元の問題と合わない すなわちが自然数であるとき，そのを用いてで定義されるは となって元の問題と合わない →閉じる←

[2]オイラー図（またはベン図）の読み方 【問題３】　次の図で表される集合について，次の記号で表されるものを下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） (1) 解説 やり直す P Q R S T V X Y AにもBにもCにも含まれているのはR →閉じる← (2) 解説 やり直す P Q R S T V X Y Aの外側でBの内側でCの内側はV →閉じる← (3) 解説 やり直す P Q R S T V X Y まずB∪Cの外側にあるものを考えるとPとY そのうちでAの内側にあるものはP →閉じる← →右上に続く

【問題４】　次の図で表される集合について，次の集合に等しいものを下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック） (1) 解説 やり直す はRとSになる →閉じる← (2) 解説 やり直す はY以外の全部が入るから広過ぎる． を考えるために，まずを考えるとQ,R,S,T,V,X そのうちでAの内側にあるのはQ,R,S …（答） 同様にしては違う 同様にしては違う →閉じる←

[3]オイラー図（またはベン図）を用いた推論の仕方 　右の図を利用するとすべての場合のの関係を調べることができる． 　例えばとすればの場合を表すことができ， とすればの場合を表すことができ， とすればの場合を表すことができる． 　このように，の包含関係（どちらがどちらを含んでいるか，共通部分があるかないかなど）は，問題に応じて右図のX, Y, Z, Wのうちいくつかが「ない」（空集合）だとすればよい． 【例題】 が成り立つのはどのような場合か 右図においてはX, Y, Z 次に，はY, Z となるのはXの部分がない場合 これは，の場合と言ってもよい． 【問題５】　次の各々の関係式について， [1] つねに成り立つ　 [2] 成り立つ場合と成り立たない場合がある　 [3] 絶対に成り立たない の中から正しいものを選んでください（選択肢をクリック）． (1) 解説 やり直す [1] つねに成り立つ [2] 成り立つ場合と成り立たない場合がある [3] 絶対に成り立たない 右図においてはだから，は 右辺のは したがって，かつの場合，すなわちのとき等号が成り立つ．そうでなければ成り立たない．→[2] →閉じる← (2) 解説 やり直す [1] つねに成り立つ [2] 成り立つ場合と成り立たない場合がある [3] 絶対に成り立たない はだから，は 右辺のは したがって，つねに等しい．→[1] （※この関係は２つあるド・モルガンの法則の１つになっている） →閉じる← →右上に続く

(3) 解説 やり直す [1] つねに成り立つ [2] 成り立つ場合と成り立たない場合がある [3] 絶対に成り立たない 右図においては 右辺のは したがって，の場合，すなわちのとき成り立つ．そうでなければ成り立たない．→[2] →閉じる← (4) ならば 解説 やり直す [1] つねに成り立つ [2] 成り立つ場合と成り立たない場合がある [3] 絶対に成り立たない 右図においては これがに等しいのだから このとき，は成り立つ．→[1] →閉じる← (5) ならば 解説 やり直す [1] つねに成り立つ [2] 成り立つ場合と成り立たない場合がある [3] 絶対に成り立たない 右図においては は これらが等しいのだから， したがっては成り立つ．→[1] →閉じる←